Matematické Fórum

Vrabec · 05. 02. 2009 20:21

Mám rovnici
y = x^2 + 4x + 3

při druhé derivaci získám
y = 2

Má funkce nějaký lokální extrém?
Děkuji za odpovědi.

O.o · 05. 02. 2009 20:26 — Editoval O.o (05. 02. 2009 20:27)

↑ Vrabec:

Body podezřelé z extremity zjistíš, když položíš prvou derivaci rovnu nule, tj: f'(x) = 2x+4 => f'(x) = 0 <=> x = -2

-oo ---------- -2 --------- +oo

(-oo; -2): f'(x)<0 => funkce klesá do -2
(-2; +oo): f'(x)>0 => funkce roste od -2

Pro x = -2 dostaneme bod, který je lokálním minimem funkce.

Olin · 05. 02. 2009 20:27

Druhou derivaci máš správně, ovšem pro hledání extrémů je podstatná hlavně první derivace. Ta je rovna $2x + 4$ . Víme, že funkce může mít lokální extrém jen tam, kde její první derivace je buď rovna nule, nebo není definována. Vyřešíš tedy primitivní rovnici
$2x + 4 = 0$
kterou nalezneš x-ovou souřadnici lokálního extrému. Protože je druhá derivace v tomto bodě kladná (stejně jako všude jinde), jedná se o lokální minimum.

Ještě dodatek: vzhledem k tomu, že se jedná o kvadratickou funkci, lze extrém najít i bez derivací doplněním na čtverec.

Katka1088 · 20. 04. 2009 21:45

Zdravím, zase nic nevím..

Funkce f je zadána takto: f(a) je hodnotou průsečíku osy x a tečny ke grafu g(x)=e^(-x^2) v bodě x=a. Najděte lokální extréma f, řekněte jakého jsou typu.

Děkuji (derivovat umím, ale tohle teda netuším)

halogan · 20. 04. 2009 21:48

Milý zadavateli. Nehledejte v tom složitosti. Máme tady KVADRATICKOU funkci. Její graf se lidé učí někdy na druhém stupni ZŠ.

Chápu, že druhé derivace se vám budou hodit na složitější grafy, ale tady to opravdu nemusíte řešit. Naopak podle takto jednoduchých funkcí (stačí x^2) si můžete potvrdit, jak funguje první/druhá derivace.

Až teď jsem si všimnul, že je téma staré a Vrabec si toto asi nepřečte.

No co, vylil jsem se dostatečně.

jelena · 20. 04. 2009 23:24

Katka1088 napsal(a):
Funkce f je zadána takto: f(a) je hodnotou průsečíku osy x a tečny ke grafu g(x)=e^(-x^2) v bodě x=a. Najděte lokální extréma f, řekněte jakého jsou typu.

tečna ke grafu g(x)=e^(-x^2) v bodě x=a bude vypadat takto:

$y-y_0= g^{\prime}(x)(x-x_0)$

$y-e^{-a^2}= e^{-a^2}\cdot (-2a)(x-a)$

$y= e^{-a^2}\cdot (-2a)(x-a)+e^{-a^2}=e^{-a^2}\cdot (-2ax+2a^2+1)$

$y=e^{-a^2}\cdot (-2ax+2a^2+1)$ to je tecna k g(x),

$y=0$ je zapis primky osy x

prusecik osy x a tecny je reseni rocnice

$0=e^{-a^2}\cdot (-2ax+2a^2+1)$ , tedy resení pouze:

$0=-2ax+2a^2+1$ odsud najdeme nejaké

$x=\frac{2a^2+1}{2a}$ ale má to být v bodě x=a...

ale tu mi začíná něco být mlhavo, tak snad kolega lukaszh, děkuji :-)

lukaszh · 20. 04. 2009 23:30

↑ jelena:
Čiže si našla funkciu hodnôt x, ktoré sú v závislosti od a, teda
$x=f(a)=\frac{2a^2+1}{2a}$
Extrémy z derivácie a klasika...

jelena · 20. 04. 2009 23:41

↑ lukaszh:

děkuji velmi, neboť toto "f(a) je hodnotou průsečíku osy x a tečny" mi smysl nedavalo.

Teď už snad kolegyně ↑ Katka1088: si poradí sama (derivovat umí, a to je zcela nezbytná vlastnost do života).

Tak ještě jednou děkuji a ať se daří. A kolegovi ↑ halogan:ovi řekneme, ať to tak neproživá.

lukaszh · 20. 04. 2009 23:42

↑ jelena:
On asi dnes nemá svoj deň :-) Viď odkaz.

Matematické Fórum

#1 05. 02. 2009 20:21

lokální extrémy

#2 05. 02. 2009 20:26 — Editoval O.o (05. 02. 2009 20:27)

Re: lokální extrémy

#3 05. 02. 2009 20:27

Re: lokální extrémy

#4 20. 04. 2009 21:45

Re: lokální extrémy

#5 20. 04. 2009 21:48

Re: lokální extrémy

#6 20. 04. 2009 23:24

Re: lokální extrémy

Katka1088 napsal(a):

#7 20. 04. 2009 23:30

Re: lokální extrémy

#8 20. 04. 2009 23:41

Re: lokální extrémy

#9 20. 04. 2009 23:42

Re: lokální extrémy

Zápatí