Matematické Fórum

miso16211 · 13. 03. 2016 16:25

zdravím, ako mam riesit tuto rovnicu LHDR (t je nezavisla premenna, x závisla), pomocou metodou variácie konštanty, kedze t potrebujem nejak vyňat spod derivácie x'.

rovnica : $(1+x^2) dt=(\sqrt{1+x^2}sin(x)-tx)dx$

a mame to riesit tak, ze najprv najdeme riesenie bez pravej strany, kde prava strana je nejaka funkcia t, a potom partikulárne riesenie so závislou premennou C.

Tak ja fakt neviem, ako mam to upravit. Dik za hocijaku radu.

Jj · 13. 03. 2016 17:22

↑ miso16211:

Dobrý den.

Řekl bych, že i když je ' t ' nezávislá proměnná, tak bych u této rovnice hledal řešení právě 'naopak', tzn. x jako nezávislá. Pak by úprava byla

$(1+x^2) t'=\sqrt{1+x^2}sin(x)-tx\Rightarrow t' +\frac{x}{1+x^2}\,t=\frac{\sqrt{1+x^2}sin(x)}{1+x^2}$

Což je nehomogenní lineární diferenciální rovnice pro funkci t(x) (jinou úpravu zadané rovnice si nějak neumím představit).

Pak homogenní rovnice bude

$t' +\frac{x}{1+x^2}\,t=0$ , jejím řešením dostanete funkci $t = \frac{C}{\sqrt{1+x^2}}$

Variace konstanty:

$t' = \frac{C'}{\sqrt{1+x^2}}-C\frac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}$ --> po dosazení za t':

$\frac{C'}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{\sqrt{1+x^2}sin(x)}{1+x^2}\Rightarrow C'=\sin x$

takže $C = C_1-\cos x \Rightarrow t = \frac{C_1-\cos x }{\sqrt{1+x^2}}$

miso16211 · 14. 03. 2016 19:22

↑ Jj:dakujem, inak to sa môže? Ved derivácia t podla x je co? 0?

Jj · 14. 03. 2016 22:31

↑ miso16211:

Ano, může se to a některé školní příklady tento postup i předpokládají (tento asi taky - je zřejmé, že při řešení vše hezky školně do sebe zapadá, a jiným způsobem z toho těžko vykouzlíte lineární diferenciální rovnici).

Není to 0. Je to to, co je napsáno - tedy dt/dx, místo funkce x(t) najdete jako řešení diferenciální rovnice funkci t(x). Pokud tato splňuje diferenciální rovnici, je to v pořádku. Z řešení je zřejmé, že funkce x(t) se ani nedá vyjádřit pomocí elementárních funkcí.

Matematické Fórum

#1 13. 03. 2016 16:25

lineárna homogénna diferenciálna rovnica

#2 13. 03. 2016 17:22

Re: lineárna homogénna diferenciálna rovnica

#3 14. 03. 2016 19:22

Re: lineárna homogénna diferenciálna rovnica

#4 14. 03. 2016 22:31

Re: lineárna homogénna diferenciálna rovnica

Zápatí