Matematické Fórum

bobi · 11. 04. 2016 16:02 — Editoval bobi (11. 04. 2016 16:13)

Dobrý den,

zajímá mě jestli to mám správně vypočítané:

Vypočtěte integrá:
Gamma je kladně orientovaná.

Výsledek mě vyšel:

jelena · 12. 04. 2016 23:44

Zdravím,

pokud je ještě aktuální, vyšlo mi to skoro stejně, jen nemám 2 v čitateli, ta se mi zkrátila s 8 jmenovateli (parciální zlomky jsem zadala do WA). Počítal jsi přes Cauchy vzorec? Děkuji.

bobi · 13. 04. 2016 06:44 — Editoval bobi (13. 04. 2016 06:45)

Počítal jsem to přes teorii residuí, možná tam mám chybu možná ne. Chtělo by to ještě někoho na porovnání :)

jelena · 13. 04. 2016 10:07 — Editoval jelena (13. 04. 2016 10:18)

↑ bobi:

Zdravím, obrazem se mi nezobrazuje, měla jsme křivkový integrál od funkce $\frac{e^z-1}{z(z^2-4)}$ , póly jsem měla 0, 2, -2. Upravila jsem na $(e^z-1)\cdot \frac{1}{z(z^2-4)}$ , zlomek potom na parciální zlomky, viz WA ↑ příspěvek 2: a pomocí Cauchy vzorce jsem řešila 3 integrály (pro každý pól): $-\frac{e^z-1}{4z}+\frac{e^z-1}{8(z-2)} +\frac{e^z-1}{8(z+2)}$ , první mi vyšel 0, jelikož pól je 0 a $e^0-1=0$ , druhý pro pól 2 mi vyšel $\frac{2\pi j(e^2-1)}{8}$ , třetí pro pól (-2) je nulový.

Píšu to ale z pamětí, raději ještě přepis zadání + Tvůj postup, ať ten "někdo na porovnání" má co porovnávat. Za porovnání děkuji.

Edit: opraven zápis po rozkladu na parc. zlomky

Rumburak · 13. 04. 2016 14:04

↑ bobi:, ↑ jelena:

Ahoj.
Lze postupovat i podle residuové věty.
O pól v bodě -2 se nemusíme starat, protože v oblasti ohraničené křívkou neleží.

jelena · 13. 04. 2016 15:57

↑ Rumburak:

Zdravím, o (-2) jsem se nestarala, viz závěr pro 3. pól. Residuovou větou mi vyšlo stejně, jako před tím, tedy $\frac{2\pi j(e^2-1)}{8}$ (ale já nevidím zadání, tedy jen doufám, že si ho správně vybavuji). Tobě to vyšlo jak? Děkuji.

Rumburak

↑ jelena:

JE ZDE SICE OMYLEM PRACOVÁNO S ODLIŠNOU FUNKCÍ, ALE METODIKA ŘEŠENÍ MOŽNÁ NĚKOMU I TAK PŘÍJDE VHOD.

Ahoj.

Zatím jsem to nepočítal, ale mohu to zkusit :-) :

Funkce $f(z) := \frac{\mathrm{e}^{z -1}}{z(z^2 - 4)}$ má singularity v bodech $-2, 0, 2$ , jejichž indexy vzhledem ke
kladně orientované kružnici $\Gamma$ jsou po řadě $0, 1, 1$ , takže podle residuové věty bude zkoumaný integrál
roven číslu $2\pi \mathrm{i} S$ , kde $S$ je součet residuí funkce $f$ v bodech $0, 2$ .

I. K residuu v bodě $0$ . Předpis pro funkci $f$ upravíme následovně:

$f(z) = \frac{\mathrm{e}^{z -1}}{z(z^2 - 4)} = -(4\mathrm{e})^{-1}z^{-1}\mathrm{e}^z \frac{1}{1-$\frac{z}{2}$^2} = \\= -(\mathrm{4e})^{-1}z^{-1}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\sum_{k=0}^{\infty}$\frac{z}{2}$^{2k}= \\= -(\mathrm{4e})^{-1}z^{-1}(1+ ...)(1+ ...) = -(\mathrm{4e})^{-1}z^{-1} + ...$ ,

odtud je zřejmé, že hledané residuum v bodě $0$ je $-(\mathrm{4e})^{-1}$ .

EDIT. Oprava chyby (vypadlá závorka).

II. Residuum v bodě $2$ se spočte analogicky (převodem na Laurentovu řadu o středu $2$ ):

$f(z) = \frac{\mathrm{e}^{z -1}}{z(z^2 - 4)} = \frac{\mathrm{e}}{8}(z-2)^{-1}\mathrm{e}^{z-2}\cdot \frac{1}{1+\frac{z-2}{2}}\cdot \frac{1}{1+\frac{z-2}{4}} = \\ = \frac{\mathrm{e}}{8}(z-2)^{-1}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(z-2)^k}{k!}\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^m$\frac{z-2}{2}$^m\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n$\frac{z-2}{4}$^n =\\= \frac{\mathrm{e}}{8}(z-2)^{-1}(1 + ...)(1 + ...)(1 + ...) = \frac{\mathrm{e}}{8}(z-2)^{-1} + ...$ ,

takže residuum v bodě $2$ bude $\frac{\mathrm{e}}{8}$ .

Hodnota integrálu pak vychází $2\pi \mathrm{i}$- (\mathrm{4e})^{-1} + \frac{\mathrm{e}}{8}$$ .

Ale netvrdím, že tam nemohu mít početní chybu.

Rumburak · 15. 04. 2016 11:53

Dokončil jsem svůj předchozí příspěvek.

Rumburak

↑ jelena:

Ahoj.
Po správně přečteném předpisu funkce mi to vyšlo stejně jako Tobě.

jelena · 16. 04. 2016 19:41

↑ Rumburak: děkuji, moderátorská práva mi ho dokonce umožnila i přečíst. Řekla bych, že i když je řešeno pozměněné zadání, může být Tvé řešení užitečné jako vzor postupu. Navrhovala bych zpřístupnit (s poznámkou, o jaké zadání šlo).

K původnímu zadání jsme se shodli, tedy

autor tématu napsal(a):
Chtělo by to ještě někoho na porovnání :)

je splněno, děkuji a označím za vyřešené. Zdravím.

Rumburak · 18. 04. 2016 09:43

↑ jelena:

Pokud jde o ten příspěvek vycházející "z pozměněného zadání" (což mi zní mnohem lépe než "z chybně opsaného
zadání" - díky za skvělý nápad :-)) klidně ho zveřejnit můžeme (i mně by bylo líto ho zahodit), ale nevím, jakými
prostředky mohu obnovu provést - prosím eventuálně o radu.

jelena · 18. 04. 2016 22:24

↑ Rumburak:

obnova provedena (Moderátor má čudlík "obnovit", předpokládá se, samozřejmě, že uvnitř je příspěvek v použitelné formě). Popř. ještě, prosím, proveď patřičné úpravy příspěvku.

Teď nastoupí pojednání o pozměněných zadáních - před Vánoci jsem tady našla knihu (obrázek je z internetu, ale kniha je doma), všechny 4 povídky v knize jsou z pražského prostředí a přitom v té mé knize je na hlavním titulu pod názvem takto. To se někomu podařilo pozměnit :-) Zdravím.

Rumburak

↑ jelena:

Změny (pokud jde o knihu) jsou tam dokonce hned dvě. Soudím, že vydavatele ovlivnilo umělecké renomé autorky,
aniž by se namáhal knihu číst, což je samozřejmě u vydavatele trestuhodné ...

Matematické Fórum

#1 11. 04. 2016 16:02 — Editoval bobi (11. 04. 2016 16:13)

Integrál po křivce

#2 12. 04. 2016 23:44

Re: Integrál po křivce

#3 13. 04. 2016 06:44 — Editoval bobi (13. 04. 2016 06:45)

Re: Integrál po křivce

#4 13. 04. 2016 10:07 — Editoval jelena (13. 04. 2016 10:18)

Re: Integrál po křivce

#5 13. 04. 2016 14:04

Re: Integrál po křivce

#6 13. 04. 2016 15:57

Re: Integrál po křivce

#7 15. 04. 2016 10:13 — Editoval Rumburak (19. 04. 2016 15:06)

Re: Integrál po křivce

#8 15. 04. 2016 11:53

Re: Integrál po křivce

#9 15. 04. 2016 14:00 — Editoval Rumburak (16. 04. 2016 10:02)

Re: Integrál po křivce

#10 16. 04. 2016 19:41

Re: Integrál po křivce

autor tématu napsal(a):

#11 18. 04. 2016 09:43

Re: Integrál po křivce

#12 18. 04. 2016 22:24

Re: Integrál po křivce

#13 19. 04. 2016 10:41 — Editoval Rumburak (19. 04. 2016 10:43)

Re: Integrál po křivce

Zápatí