Matematické Fórum

Katsushiro · 17. 04. 2016 11:36

Ahoj všichni!

Učím se o distribucích a narazil jsem na příklad, který tak nějak nemůžu vyřešit. Potřebuji udělat derivaci ve smyslu distribuce nějaké delší funkce a jsem zaseknutý na integrálu ( $\farphi(x)$ je testovací fce - tedy má kompaktní nosič)

$\int_{-1}^{1} (1-x^2) \varphi'(x) dx$

Díky osové souměrnosti jde pravděpodobně přepsat na

$2\int_{0}^{1} (1-x^2) \varphi'(x) dx$

A to jde pomocí per partes upravit na

$2 [(1-x^2) \varphi(x)]^1_0 -2 \int^1_0 -2x \cdot \varphi(x) dx = 2 \varphi(0) + 4 \int^1_0 x \cdot \varphi(x) dx$

Netuším ale, jak mám postupovat dál...

Pokud budete mít jakékoliv nápady, prosím, poraďte :-)

Moc díky,
Katsu

jelena · 17. 04. 2016 18:02

Zdravím,

k vstupním krokům doplním, že pokud budu uvažovat jen část z úvodního zápisu, která je problémová $\int x^2 \varphi'(x)\d x$ , tak po dvou per partes by mělo dojit na algebraickou rovnici, ze které se vyjádří $\int x^2 \varphi'(x) \d x$ . Ověř, prosím, zda to tak je. Děkuji.

Bati · 18. 04. 2016 00:52

Ahoj,
stačí jediné per partes (tvoje úprava pomocí symetrie nefunguje, protože test. fce nemusí být sudá):
$\int_{a}^{b} (1-x^2) \varphi'(x)\,\mathrm{d}x=[(1-x^2)]_a^b-\int_{a}^b(-2x)\varphi(x)\,\mathrm{d}x=-\int_{a}^b(-2x)\varphi(x)\,\mathrm{d}x\quad\forall\varphi\in C^{\infty}_c((a,b))$ ,
odkud hned vidíme, že $(1-x^2)'$ je regulární distribuce reprezentovaná funkcí $-2x$ (což ale víme odzačátku, protože $(1-x^2)'=-2x$ platí i v klasickém smyslu).

Matematické Fórum

#1 17. 04. 2016 11:36

Derivace ve smyslu distribuce

#2 17. 04. 2016 18:02

Re: Derivace ve smyslu distribuce

#3 18. 04. 2016 00:52

Re: Derivace ve smyslu distribuce

Zápatí