Matematické Fórum

Statistik · 19. 04. 2016 11:19

Ahojte, chcel by som dokazat vetu
Nech funkcia f je spojita na $[a,b]$ a nech ma derivaciu v kazdom bode otvoreneho intervalu (a,b). Potom existuje take cislo $c\in (a,b)$ , ze $f(b)-f(a)=Df(c)(b-a)$ Pomozete mi s tym dokazom?

kaja.marik

Nedal by se opsat dukaz Lagrangeovy vety o stredni hodnote? Nazev vety je vlastne i v nadpise a veta je dokazana ve stovkach knih.

Statistik · 19. 04. 2016 11:39

tak ale mohli by sme si ho nacrtnut? ja ziadnu taku knihu nemam k dispozicii

Jj · 19. 04. 2016 11:55

↑ Statistik:

Zdravím.

Třeba tady: Odkaz

kaja.marik · 19. 04. 2016 11:57

Tak urcite by to slo. Pomuze treba Wikipedie? https://cs.wikipedia.org/wiki/V%C4%9Bta … po%C4%8Dtu Je tam i dukaz

Statistik · 19. 04. 2016 12:09

Jj ten posledny krok z toho vaseho linku nechapem .. preco sa to rovna nule na konci? Preco sa to musi rovnat nule?

Rumburak

↑ Statistik:

Ahoj.
Lagrangeova věta o střední hodnotě plyne z několika jednodušších tvrzení:

Nechť jsou dána $a, b \in \mathbb{R} , a < b$ .

(1) Má-li funkce $g : (a, b) \to \mathbb{R}$ lokální extrém v bodě $c \in (a, b)$ a existuje-li (derivace) $g'(c)$ ,
potom $g'(c) = 0$ .

(2) Je-li funkce $g : \langle a, b \rangle \to \mathbb{R}$ spojitá, pak existují $u, v \in \langle a, b \rangle$ taková, že

$g(u) = \min_{x\in \langle a, b \rangle} g(x)$ , $g(v) = \max_{x\in \langle a, b \rangle} g(x)$ .

Jestliže navíc $u \in (a, b)$ a existuje-li $g'(u)$ , potom dle (1) $g'(u) = 0$ . Obdobně pro bod $v$ .

(3) Jestliže

a) funkce $g : \langle a, b \rangle \to \mathbb{R}$ je spojitá,
b) v každém bodě $x \in (a, b)$ existuje $g'(x)$ ,
c) $g(a) = g(b)$ ,

potom existuje $c \in (a, b)$ takové, že $g'(c) = 0$ .

L. věta je zobecněním Rolleovy věty (3) pro případ, kdy neuplatňujeme předpoklad $g(a) = g(b)$ .
Důkaz provádíme tak, že z obecnější funkce $f$ vyrobíme "pracovní" funkci

(*) $g(x) := f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b-a}\cdot (x-a)$ ,

která už splňuje všechny předpoklady věty (3) a tu lze pak na funkci $g$ aplikovat. Existuje tedy $c \in (a, b)$
takové, že $g'(c) = 0$ , což dle (*) znamená $f'(c) - \frac{f(b) - f(a)}{b-a} = 0$ .

Dalším zobecněním je Cauchyova věta o střední hodnotě.

kaja.marik · 19. 04. 2016 15:44

Statistik napsal(a):
Jj ten posledny krok z toho vaseho linku nechapem .. preco sa to rovna nule na konci? Preco sa to musi rovnat nule?

Nasel jste Rolleovu vetu?

Statistik · 19. 04. 2016 16:52

Rumburak vdaka ze ste si dal namahu, a ano nasiel som definiciu rolleho vety a co?

kaja.marik · 19. 04. 2016 18:39

Statistik napsal(a):
Rumburak vdaka ze ste si dal namahu, a ano nasiel som definiciu rolleho vety a co?

je to vysvetleni te nuly.

Statistik · 20. 04. 2016 10:23

ale rolleho veta hovori ze ak je funckia spojita na intervale a ma na tomto intervale derivaciu tak potom existuje take c, ze $Df(c)=0$ ale ako to suvisi s tym ze ta derivacia toho $g(x)$ musi sa rovnat nule? mozno som nechapavi ale tak nevidim spojitost no

kaja.marik · 20. 04. 2016 11:05

Tak on to tak vlastne ma i Rumburak, takze jestli jeho reseni je akceptovano, tak to uz mozna nemusime resit.

Jinak, v tom odkazovanem dukaze na Wikipedii je, ze derivace funkce F je v nejakem bode c nulova. To je presne pouziti Rolleovy vety.

Statistik · 20. 04. 2016 12:12

aha no tak ok :)

Rumburak

↑ Statistik:

Pro jistotu to ještě shrnu:

Z funkce $f$ jsme vyrobili funkci

(1) $g(x) := f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b-a}\cdot (x-a)$ ,

která splňuje podmínku $g(a) = g(b)$ , je spojitá na $\langle a, b \rangle$ a v každém $x \in (a,b)$ má derivaci.
První podmínku lze ověřit přímo, zbývající dvě platí proto, že je předpokládáme již u funkce $f$ .
Fce $g$ tedy splňuje předpoklady Rolleovy věty a tudíž pro ni musí platit i tvrzení této věty, tedy že
existuje $c \in (a, b)$ takové, že $g'(c) = 0$ . Když zde $g'(c)$ vyjádříme na základě vztahu (1),
dostaneme

(2) $$f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b-a}\cdot (x-a)$'_{x=c} = 0$ ,

podrobnějším rozepsáním derivace (podle $x$ ) v (2) a jednoduchou algebraickou úpravou obdržíme
vzorec z L.v.

Matematické Fórum

#1 19. 04. 2016 11:19

Lagrangeova veta - dokaz

#2 19. 04. 2016 11:30 — Editoval kaja.marik (19. 04. 2016 11:31)

Re: Lagrangeova veta - dokaz

#3 19. 04. 2016 11:39

Re: Lagrangeova veta - dokaz

#4 19. 04. 2016 11:55

Re: Lagrangeova veta - dokaz

#5 19. 04. 2016 11:57

Re: Lagrangeova veta - dokaz

#6 19. 04. 2016 12:09

Re: Lagrangeova veta - dokaz

#7 19. 04. 2016 13:38 — Editoval Rumburak (19. 04. 2016 14:49)

Re: Lagrangeova veta - dokaz

#8 19. 04. 2016 15:44

Re: Lagrangeova veta - dokaz

Statistik napsal(a):

#9 19. 04. 2016 16:52

Re: Lagrangeova veta - dokaz

#10 19. 04. 2016 18:39

Re: Lagrangeova veta - dokaz

Statistik napsal(a):

#11 20. 04. 2016 10:23

Re: Lagrangeova veta - dokaz

#12 20. 04. 2016 11:05

Re: Lagrangeova veta - dokaz

#13 20. 04. 2016 12:12

Re: Lagrangeova veta - dokaz

#14 21. 04. 2016 09:43 — Editoval Rumburak (21. 04. 2016 11:44)

Re: Lagrangeova veta - dokaz

Zápatí