Matematické Fórum

Statistik

Ahojte, mam takuto ulohu:
Najdite obor konvergencie radu $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^x}$
no obor konvergencie je vlasne taka mnozina $T$ bodov $t\ge 0$ ze plati $T=\{t:t\ge 0; \sum_{n=0}^{\infty }a_{n}t^n<\infty \}$ to mam z definicie oboru konvergencie. Takze podla mna bude obor konvergencie $(-1,1)$ lebo ak v rade $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^x}$ za n-ko budem dosadzovat cisla tak rad konverguje len v pripade ze $n\in (-1,1)$ co poviete, mam to dobre alebo som mimo?

Eratosthenes · 20. 04. 2016 11:34

ahoj ↑ Statistik:,

není to dobře. n je index členů řady, takže je vždycky n = 1;2;...;1000;.... (nekonečno -:). Asi tě zmátlo značení v té vaší definici - ta mimochodem k řešení není použitelná, protože mluví o mocninné řadě a zadaná řada mocninná není. Máš zjistit, pro která x řada konverguje (nikoliv pro která n...)

Statistik

aha no jasne, vdaka .. takze ako teraz budeme postupovat aby sme zistili pre ktore $x$ rada konverguje? Viem ze rad $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$ diverguje ale napr. $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$ uz konverguje. Tak ako teraz urcit to $x$ nejako obecne?

kaja.marik

Zkusil bych nejdriv specialni pripady, kde je x zaporne (a jak se n ato divam tak mozna nebude splnena nutna podminka konvergence) a kdy je x=0.

A potom mozna bude stacit se kouknout, jak se dokazuje konvergence/divergence tech rad o kterych pisete a zkusit stejny postup aplikovat na obecnou mocninu $\frac 1{n^x}$ pro kladne $x$ .

Statistik

teraz som v zosite zistil pomocou D´Alembertovho porovnavajuceho kriteria, ze aj rad $\sum_{n=1}^{8}\frac{1}{\sqrt{x}}$ diverguje.. takze aj pre $x=1/2$ diverguje. Fakt to neviem zobecnit pre ktore konverguje a pre ktore diverguje. Je mozne ze uz pre $x=1,00...0001$ bude divergovat? Mimochodom taky rad $\sum_{n=1}^{8}\frac{1}{n^{-1}}=\frac{1}{\frac{1}{1}}+\frac{1}{\frac{1}{2}}+\frac{1}{\frac{1}{3}}+...=1+2+3+...$ tiez diverguje Ja si myslim ze pre $x\ge 2$ bude konvergovat a pre $x\le 2$ bude divergovat ale dokazat to neviem. Dokonca aj pre $x=0$ , rad $\sum_{n=1}^{8}\frac{1}{x^{0}}=\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+...$ diverguje

kaja.marik

Zkusil bych radeji integralni kriteium. Viz priklad 1.10 zde: http://mathonline.fme.vutbr.cz/download … d_file=742

Statistik

integralne kriterium pre ake $x$ ? pre $x=1/2$ som pouzil d´alembertovo, pre $x=2,3,4,...$ som pouzil porovnavajuce kedze $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^3}\le \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$ no a kedze $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$ konverguje tak musia vsetky rady pre $x$ vacsie ako $2$
pre $x=0$ je to jasne, pre $x=-1,-2-3$ tiez sa daju rady porovnat. Myslim ze obor konvergencie bude $[2,+\infty )$

Honzc · 20. 04. 2016 13:50 — Editoval Honzc (20. 04. 2016 14:11)

↑ Statistik:
Tvůj výsledek ja špatně.
Nejdříve pro x=1 dostaneme harmonickou řadu, která jak známo diverguje.
A pak integrální kritérium:
$\lim_{t\to\infty }\int_{1}^{t}y^{-x}dy=\lim_{t\to\infty }(\frac{1}{(1-x)t^{(x-1})}+\frac{1}{x-1})=$
$=\frac{1}{x-1}\,\,\text{pro}\,x>1-\text{konverguje}$
$=\infty \,\text{pro}\,\,x<1-\text{diverguje}$
Tedy výsledek:
Řada ..... konveguje pro $x\in (1,\infty )$
Poznámka: konvertuje se např. k islámu, ale řada konverguje.

Statistik · 20. 04. 2016 13:54

pardon za chybu :D
no skusil som uz aj integralne pravidlo a vyslo mi ze na $[2,\infty )$ to konverguje a pre $x<2$ diverguje

vanok · 20. 04. 2016 16:26 — Editoval vanok (20. 04. 2016 16:58)

Poznamka.
Rada $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{\alpha}}$
( pisem $\alpha$ a nie $x$ , lebo sa mi to viac paci!)
Sa vola Riemann-ova rada.
Akoze, je jasne z vlakna, ze ste uz dokazali ze pre nikoho nie je problem ukazat, ze tato rada je divergentna pre $\alpha=1$ a tak aj pre vsetki $\alpha \le 1$
tiez, ze je konvergentna pre $\alpha =2$ a tak pre vsetki $\alpha\ge 2$ ( tento riadok sa ukaze zbytocny, ak si precitate co naslenduje)

Na doplnenie, hladanej vlasnosti nam staci ju vysetrit ze pre $\alpha >1$
Preto je vyhodne pouzit radu vseobecneho clenu $v_n=\frac 1 {n^{\alpha -1}}- \frac 1{(n+1)^{\alpha-1}}; n\ge 1$ a aplikovat Lagrange-ovu teoremu na funkciu $x\mapsto \frac 1{x^{\alpha-1}}$ na intervale $[n;n+1]$ .....
Z tymto iste dokazete ukoncit hladany dokaz( alebo si precitajte vase poznamky z prveho rocnika VS)