Matematické Fórum

Pritt · 03. 05. 2016 01:19

Zdravím,
trochu jsem se zasekl u vyšetřování konvergence následujícího integrálu:

$\int_{0}^{+\infty}x^n \cdot e^{-x^2}dx, \; \; n \in \mathbb{R}$

Nejdříve jsem si integrál rozdělil na

$\int_{0}^{1}x^n \cdot e^{-x^2}dx + \int_{0}^{+\infty}x^n \cdot e^{-x^2}dx$

Co se týká prvního integrálu, tak:

$\frac{1}{x^{-n} \cdot e^{x^2}} < \frac{1}{x^{-n}}$

Tedy podle nelimitního kritéria konverguje pro $n > -1$ .

U druhého však tápu, napadlo mě jedině, teď během psaní, že pokud na integrál $\int_{1}^{+\infty}x^n \cdot e^{-x^2}dx$

budu opakovaně aplikovat per partes takto:
$f'(x) = xe^{-x^2} \Rightarrow f(x) = -\frac{e^{-x^2}}{2} \nl g(x) = x^{n-1} \Rightarrow g'(x) = (n-1)x^{n-2}$

tak dostanu $\forall n \in \mathbb{Z}$ : $\alpha\int_{1}^{+\infty}e^{-x^2}dx + \beta$

Tento integrál konverguje, protože $\frac{1}{e^{x^2}} <\frac{1}{x^2}, \; \; x \in (1;+\infty)$ ...

Sice jsem to ukázal jen pro $\forall n \in \mathbb{Z}$ , ale to by mělo stačit k tomu, že to platí pro všechna n reálná, protože pro každé n z R mohu vzít $[n]+1$ , pro které to mam ukázané.

Každopádně bych byl rád za všechny připomínky.. Děkuji

Bati · 03. 05. 2016 09:24 — Editoval Bati (03. 05. 2016 09:24)

Ahoj ↑ Pritt:,
u nuly to máš správně, ale dá se říct víc - že to konverguje u nuly právě když $n>-1$ . To plyne z limitního srovnávacího kritéria a $e^{-x^2}\approx 1$ u nuly.

U nekonečna taky použij srovnání. Uvědom si, že $e^{-x^2}$ konverguje k nule fakt hodně rychle, rychleji než kterákoliv mocnina. Proto bych srovnal např. s $\int e^{-\frac{x^2}2}$ .

Pritt · 03. 05. 2016 15:19

Ahoj ↑ Bati:,

to srovnání tam mám :

Tento integrál konverguje, protože $\frac{1}{e^{x^2}} <\frac{1}{x^2}, \; \; x \in (1;+\infty)$ ...

Samozřejmě to konverguje kvůli nelimitnímu srovnávacímu kritériu.

Jenom jsem si tím postupem nebyl úplně jistý.

Bati · 03. 05. 2016 17:50 — Editoval Bati (03. 05. 2016 17:50)

↑ Pritt:
Ale ty vyšetřuješ integrál $\int_1^{\infty}x^ne^{-x^2}$ a ne $\int_1^{\infty}e^{-x^2}$ .
Pokud použiješ limitní srovnávací kritérium, tak nepotřebuješ dělat per partes a dostaneš to pro všechny $n\in\mathbb{R}$ .

Pritt · 03. 05. 2016 19:39

No jasně. Díky ↑ Bati:.

Matematické Fórum

#1 03. 05. 2016 01:19

kovergence integrálu

#2 03. 05. 2016 09:24 — Editoval Bati (03. 05. 2016 09:24)

Re: kovergence integrálu

#3 03. 05. 2016 15:19

Re: kovergence integrálu

#4 03. 05. 2016 17:50 — Editoval Bati (03. 05. 2016 17:50)

Re: kovergence integrálu

#5 03. 05. 2016 19:39

Re: kovergence integrálu

Zápatí