Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 04. 05. 2016 15:14 — Editoval Statistik (04. 05. 2016 15:15)

Statistik
Příspěvky: 239
Reputace:   
 

Obor konvergencie

Ahojte, mam najst obor konvergencie radu $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{x^2}{(1+x^2)^(n-1)}$ ako na to?

Offline

 

#2 04. 05. 2016 16:07

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: Obor konvergencie

↑ Statistik:

Ahoj. Řekl bych, ža má jít o řadu $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{x^2}{(1+x^2)^{n-1}}$  (???)

Pokud ano, tak pro x = 0  je zřejmá konvergence, na ostatní případy zkus použít podílové kriterium.

Offline

 

#3 04. 05. 2016 16:20

Statistik
Příspěvky: 239
Reputace:   
 

Re: Obor konvergencie

ano takto to ma byt, vdaka za opravu :) No a ake ostatne pripady? Obor konvergencie je predsa mnozina, to mam vyskusat nahodne niektore cisla?

Offline

 

#4 04. 05. 2016 16:35

kaja.marik
Veterán
Příspěvky: 1915
Reputace:   57 
 

Re: Obor konvergencie

Ne nahodna, ale vsechna x ruzna od nuly.

Anebo (bez kriteria) neni to nahodou pro kazde pevne x geometricka posloupnost?

Offline

 

#5 04. 05. 2016 17:13

Freedy
Místo: Praha
Příspěvky: 2726
Škola: MFF UK (15-18, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   166 
 

Re: Obor konvergencie

Ahoj,

$x^2$ nezávisí na sčítacím indexu, lze jej tedy vytknout a dostáváš (+ posunutí sčítacího indexu)
$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^2}{(1+x^2)^{n-1}}=x^2\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{(1+x^2)^{n}}$
Nyní vyšetřuješ řadu
$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{(1+x^2)^{n}}$
to je geometrická řada s kvocientem $\frac{1}{1+x^2}$ pro který musí platit, že $\bigg|\frac{1}{1+x^2}\bigg|<1$.
Řadu můžeš dokonce sečíst a vyjádřit v uzavřeném tvaru.


L'Hospitalovo pravidlo neexistuje. Byl to výsledek Johanna Bernoulliho

Offline

 

#6 04. 05. 2016 17:37

Statistik
Příspěvky: 239
Reputace:   
 

Re: Obor konvergencie

ako by sme ju scitali a vyjadrili v uzavretom tvare?

Offline

 

#7 04. 05. 2016 17:41

Freedy
Místo: Praha
Příspěvky: 2726
Škola: MFF UK (15-18, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   166 
 

Re: Obor konvergencie

Pro $|q|<1$ platí
$\sum_{n=0}^{\infty }q^n=\frac{1}{1-q}$


L'Hospitalovo pravidlo neexistuje. Byl to výsledek Johanna Bernoulliho

Offline

 

#8 04. 05. 2016 19:13

Statistik
Příspěvky: 239
Reputace:   
 

Re: Obor konvergencie

ale nas vyraz je $x^2$ tak ako nam pomote vztah, ktory ste pridali?

Offline

 

#9 04. 05. 2016 19:26

Freedy
Místo: Praha
Příspěvky: 2726
Škola: MFF UK (15-18, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   166 
 

Re: Obor konvergencie

$q = \frac{1}{1+x^2}\Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty }\bigg(\frac{1}{1+x^2}\bigg)^n = \sum_{n=0}^{\infty }q^n$


L'Hospitalovo pravidlo neexistuje. Byl to výsledek Johanna Bernoulliho

Offline

 

#10 04. 05. 2016 19:28

Statistik
Příspěvky: 239
Reputace:   
 

Re: Obor konvergencie

stale akosi nechapem co mi tym chcete povedat

Offline

 

#11 06. 05. 2016 11:05 — Editoval Rumburak (06. 05. 2016 11:30)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: Obor konvergencie

↑ Statistik:

Ahoj.

Zápis řady $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{x^2}{(1+x^2)^{n-1}}$  můžeme převést do ekvivalentního tvaru $\sum_{n=1}^{\infty }x^2\(\frac{1}{1+x^2}\)^{n-1}$,
tedy do tvaru geometrické řady, jejíž první člen je $x^2$ a kvocient $q = q(x) =\frac{1}{1+x^2}$
Případ $x = 0$ dává řadu sestavenou pouze z nul, jejíž součet je triviálně 0.
U případu $x \ne 0$ si musíme připomenout,  kdy je (netriviální) geometrická řada o kvocientu $q$ konvergentní:
je tomu právě tehdy, když $|q| < 1$.

Závěr:

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson