Matematické Fórum

Statistik

Ahojte, mam najst obor konvergencie radu $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{x^2}{(1+x^2)^(n-1)}$ ako na to?

Rumburak · 04. 05. 2016 16:07

↑ Statistik:

Ahoj. Řekl bych, ža má jít o řadu $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{x^2}{(1+x^2)^{n-1}}$ (???)

Pokud ano, tak pro x = 0 je zřejmá konvergence, na ostatní případy zkus použít podílové kriterium.

Statistik · 04. 05. 2016 16:20

ano takto to ma byt, vdaka za opravu :) No a ake ostatne pripady? Obor konvergencie je predsa mnozina, to mam vyskusat nahodne niektore cisla?

kaja.marik · 04. 05. 2016 16:35

Ne nahodna, ale vsechna x ruzna od nuly.

Anebo (bez kriteria) neni to nahodou pro kazde pevne x geometricka posloupnost?

Freedy · 04. 05. 2016 17:13

Ahoj,

$x^2$ nezávisí na sčítacím indexu, lze jej tedy vytknout a dostáváš (+ posunutí sčítacího indexu)
$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^2}{(1+x^2)^{n-1}}=x^2\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{(1+x^2)^{n}}$
Nyní vyšetřuješ řadu
$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{(1+x^2)^{n}}$
to je geometrická řada s kvocientem $\frac{1}{1+x^2}$ pro který musí platit, že $\bigg|\frac{1}{1+x^2}\bigg|<1$ .
Řadu můžeš dokonce sečíst a vyjádřit v uzavřeném tvaru.

Statistik · 04. 05. 2016 17:37

ako by sme ju scitali a vyjadrili v uzavretom tvare?

Freedy · 04. 05. 2016 17:41

Pro $|q|<1$ platí
$\sum_{n=0}^{\infty }q^n=\frac{1}{1-q}$

Statistik · 04. 05. 2016 19:13

ale nas vyraz je $x^2$ tak ako nam pomote vztah, ktory ste pridali?

Freedy · 04. 05. 2016 19:26

$q = \frac{1}{1+x^2}\Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty }\bigg(\frac{1}{1+x^2}\bigg)^n = \sum_{n=0}^{\infty }q^n$

Statistik · 04. 05. 2016 19:28

stale akosi nechapem co mi tym chcete povedat

Rumburak

↑ Statistik:

Ahoj.

Zápis řady $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{x^2}{(1+x^2)^{n-1}}$ můžeme převést do ekvivalentního tvaru $\sum_{n=1}^{\infty }x^2$\frac{1}{1+x^2}$^{n-1}$ ,
tedy do tvaru geometrické řady, jejíž první člen je $x^2$ a kvocient $q = q(x) =\frac{1}{1+x^2}$ .
Případ $x = 0$ dává řadu sestavenou pouze z nul, jejíž součet je triviálně 0.
U případu $x \ne 0$ si musíme připomenout, kdy je (netriviální) geometrická řada o kvocientu $q$ konvergentní:
je tomu právě tehdy, když $|q| < 1$ .

Závěr: