Matematické Fórum

Statistik

Ahojte, chcem sa opytat azda je tato definicia rovnomernej konvergencie spravna
Funkcionalny rad $\sum_{n=p}^{\infty } f_{n}(x)$ sa nazyva rovnomerne konvergnetny na mnozine $M$ , ak existuju cisla $v_{n}$ , $n=p,p+1,p+2,...$ take, ze $|f_{n}(x)|\le v_{n}$ pre kazde $x\in M$ a pre kazde $n=p,p+1,p+2,...$ je rad $\sum_{n=p}^{\infty } f_{n}(x)$ konvergentny.

Rumburak

↑ Statistik:

Ahoj.

Aby tomu bylo lépe rozumět, proveďme porovnání bodové konvergence se stejnoměrnou konvergencí,
a to nejprve u limity posloupnosti funkcí, což je z principu jednodušší..

A. Bodová konvergence. Posloupnost $(f_n(x))$ koverguje k funkci $f$ na množině $M$ právě tehdy,
když pro každé $x \in M$ je

(0) $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$ .

Zapsáno podrobněji na základě definice výroku (1) a pomocí kvantifikátorů např. :

(1) $\underline{\forall_{x \in M}} \forall_{\varepsilon > 0} \exists_{K>0} \forall_{n > K} |f_n(x)-f(x)| < \varepsilon$ .

Ve výroku (1') je "konstanta" $K$ závislá nejen na $\varepsilon$ , ale také na dříve zvoleném $x$ .

B. Stejnoměrná konvergence nastane, když $K$ záviset na $x$ nebude, přesněji: bude-li platit silnější výrok

(2) $\forall_{\varepsilon > 0} \exists_{K>0} \forall_{n > K} \underline{\forall_{x \in M}} |f_n(x)-f(x)| < \varepsilon$ .

Tolik k definici stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí. Aplikujeme-li ji na posloupnost
částečných součtů řady funkcí, dostaneme stejnoměrnou konvergeci příslušné řady funkcí.

"Tvá" fornulace st.k. řady úplně v pořádku není. Předpoklad

$\sum_{n=p}^{\infty } f_{n}(x)$ konverguje

nutno nahradit předpokladem

$\sum_{n=p}^{\infty } v_{n}$ konverguje

Stačí takto ?

Statistik · 06. 05. 2016 14:49

ano staci, takze v istom zmysle sa da povedat ze bodova konvergencia je "slabsia" ako rovnomerna?

Rumburak

↑ Statistik:

Přesně tak. Posloupnost (řada) funkcí konvergující na určité množinš stejnoměrně
konverguje i bodově (mohli bychom říci "v každém jednotlivém bodě" oné množiny),
zatímco v opačném směru to platit nemusí.

Statistik

mohli by sme si uviest aj nejake priklady ktora rada konverguje rovnomerne, ktora aj rovnomerne aj bodovo a rada, ktora konverguje len bodovo?

Rumburak · 06. 05. 2016 16:47

↑ Statistik:

Když posloupnost (resp. řada) konverguje stejnoměrně na množině $M$ , pak konverhule na $M$ i bodově,
jak jsme již probrali.

Příklady.

1. Posloupnost $(x^n)$ :
- konverguje bodově na množině $M = (-1, 1\rangle$ , a sice v bodě $1$ k hodnotě $1$ ,
pro ostatní $x \in M$ k hodnotě $0$ ;
- v bodech nepatřících do $M$ je daná posloupnost divergentní;
- jsou-li $a, b$ taková, že $-1 < a < b < 1$ , pak na intervalu $\langle a, b \rangle$ je konvergence $x^n \to 0$
stejnoměrná, protože zde $|x| \le c$ , kde $c = \max\{|a|, |b|\} < 1$ , takže

$0 \le |x^n| = |x|^n \le c^n \to 0$ ,

kde $c^n$ sice závicí na $a, b$ , ale ne na konkretním $x \in \langle a, b \rangle$ .

2. Řada $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ konverguje na $(-1,1)$ k součtu $\frac{1}{1-x}$ (jde o konkretní příklad geometrické řady).
Tato konvergemce je stejnoměrná na intervalu $\langle a, b \rangle$ z předchozího odstavce, protože pro posloupnost
$(s_k(x))$ jejích částečných součtů platí

$|s_k(x) - \frac{1}{1-x}| = |\sum_{n=0}^{k} x^n - \sum_{n=0}^{\infty} x^n | = |\sum_{n=k+1}^{\infty} x^n| \le \\ \le \sum_{n=k+1}^{\infty} |x|^n \le \sum_{n=k+1}^{\infty} c^n = c^{k+1}\sum_{n=0}^{\infty} c^n = c^{k+1}\cdot \frac{1}{1-c}$ ,

při čemž $\lim_{k \to \infty}\frac{c^{k+1}}{1-c} = 0$ , kde číslo $c$ (rovněž zavedené v předchozím odstavci) nezávisí na $x$ .