Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
↑ Statistik:
Ahoj.
Aby tomu bylo lépe rozumět, proveďme porovnání bodové konvergence se stejnoměrnou konvergencí,
a to nejprve u limity posloupnosti funkcí, což je z principu jednodušší..
A. Bodová konvergence. Posloupnost koverguje k funkci na množině právě tehdy,
když pro každé je
(0) .
Zapsáno podrobněji na základě definice výroku (1) a pomocí kvantifikátorů např. :
(1) .
Ve výroku (1') je "konstanta" závislá nejen na , ale také na dříve zvoleném .
B. Stejnoměrná konvergence nastane, když záviset na nebude, přesněji: bude-li platit silnější výrok
(2) .
Tolik k definici stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí. Aplikujeme-li ji na posloupnost
částečných součtů řady funkcí, dostaneme stejnoměrnou konvergeci příslušné řady funkcí.
"Tvá" fornulace st.k. řady úplně v pořádku není. Předpoklad
konverguje
nutno nahradit předpokladem
konverguje
Stačí takto ?
Offline
↑ Statistik:
Přesně tak. Posloupnost (řada) funkcí konvergující na určité množinš stejnoměrně
konverguje i bodově (mohli bychom říci "v každém jednotlivém bodě" oné množiny),
zatímco v opačném směru to platit nemusí.
Offline
↑ Statistik:
Když posloupnost (resp. řada) konverguje stejnoměrně na množině , pak konverhule na i bodově,
jak jsme již probrali.
Příklady.
1. Posloupnost :
- konverguje bodově na množině , a sice v bodě k hodnotě ,
pro ostatní k hodnotě ;
- v bodech nepatřících do je daná posloupnost divergentní;
- jsou-li taková, že , pak na intervalu je konvergence
stejnoměrná, protože zde , kde , takže
,
kde sice závicí na , ale ne na konkretním .
2. Řada konverguje na k součtu (jde o konkretní příklad geometrické řady).
Tato konvergemce je stejnoměrná na intervalu z předchozího odstavce, protože pro posloupnost
jejích částečných součtů platí
,
při čemž , kde číslo (rovněž zavedené v předchozím odstavci) nezávisí na .
Offline