Matematické Fórum

aladar · 27. 04. 2016 14:34

Zdravim, mam overit, ci je zobrazeni linearne. Viem, ze niekde robim chybu, kedze to a^2 tam skodi, to urcite nemoze byt linearne. Ak to vsak robim podla definicie, vychadza mi, ze linearne je. Viete mi poradit, kde robim chybu?

$A(\alpha _{1}, \alpha _{2}, \alpha _{3}) = (\alpha _{3}, \alpha ^{2}_{1}, \alpha _{2}, \alpha _{3})$
$x = (\alpha _{1}, \alpha _{2}, \alpha _{3})$
$y = (\beta _{1}, \beta _{2}, \beta _{3})$

Overujem ci plati
$A(\gamma x+y) = \gamma Ax + Ay$
$A(\gamma \alpha _{1} + \beta _{1},\gamma \alpha _{2} + \beta _{2}, \gamma \alpha _{3} + \beta _{3}) = \gamma A(\alpha _{1}, \alpha _{2}, \alpha _{3}) + A(\beta _{1}, \beta _{2}, \beta _{3})$

$A = (\gamma\alpha _{3}+\beta _{3}, \gamma\alpha ^{2}_{1}+\beta ^{2}_{1}, \gamma\alpha _{2}+\beta _{2}, \gamma\alpha _{3}+\beta _{3}) = \gamma A(\alpha _{3}, \alpha ^{2}_{1}, \alpha _{2}, \alpha _{3}) + A(\beta _{3}, \beta ^{2}_{1}, \beta _{2}, \beta _{3})$

Toto ked scitam a roznasobim, tak sa mi to rovnat evidentne bude. Takze niekde to robim zle. Viete mi niekto poradit? Dakujem.

Pritt · 27. 04. 2016 15:37 — Editoval Pritt (27. 04. 2016 15:51)

↑ aladar:

Ahoj
má platit:
$\forall \vec x, \vec y \in V \nl \forall \gamma \in T:$
$A(\gamma \vec x+\vec y) = \gamma A\vec x + A\vec y$
Pokud pustíš zobrazení A na obě strany zvlášť, tak se ukáže, že to nefunguje:
$A(\gamma \vec x+\vec y) = A(\gamma x_1+y_1, \gamma x_2+y_2, \gamma x_3+y_3)=$
$= (\gamma x_3+y_3,( \gamma x_1+y_1)^2, \gamma x_2+y_2, \gamma x_3+y_3) \neq \gamma A\vec x + A\vec y$

Protože
$\gamma A\vec x + A\vec y = \gamma(x_3, x_1^2,x_2,x_3)+(y_3, y_1^2,y_2,y_3) = \nl = (\gamma x_3 + y_3,\gamma x_1^2 + y_1^2,\gamma x_2 + y_2,\gamma x_3 + y_3)$

$\gamma x_1^2 + y_1^2 \neq ( \gamma x_1+y_1)^2$

aladar · 27. 04. 2016 15:56

aha super, cize musim to dat cele do zatvorky $(\gamma x1 + y1)^{2}$ a cele na druhu. Vies mi este povedat, preco to nemoze byt tak, ako som to napisal vyssie ja? Dakujem velmi pekne :)

misaH · 27. 04. 2016 16:31

Lebo $\gamma x_1^2 + y_1^2 \neq ( \gamma x_1+y_1)^2$ ?

Pritt · 27. 04. 2016 16:37

↑ aladar:

Uvědom si, že
$A(\gamma \vec x+\vec y) = A\vec z \nl kde \; \;\vec z = \gamma \vec x + \vec y \nl A\vec z = A(z_1, z_2, z_3)=(z_3, z_1^2, z_2, z_3)$
ale $z_1 = \gamma x_1 + y_1$

aladar · 27. 04. 2016 17:21

Ok super dik, a chcel by som sa este spytat na jeden priklad, ci som to dobre rozpisal
$A(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}) = (\alpha_{1}+1,\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})$
$A(\gamma\alpha_{1} +1 + \beta_{1}+1, \gamma\alpha_{1} + \beta_{1}, \gamma\alpha_{2} + \beta_{2}, \gamma\alpha_{3} + \beta_{3}) =\gamma A(\alpha_{1}+1, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}) + A(\beta_{1}+1, \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3})$

Po roznasobeni pravej strany sa to rovnat nebude, cize vychadza to dobre, aj ked neviem, ci som to dobre rozpisal. Dakujem.

Pritt · 27. 04. 2016 17:42 — Editoval Pritt (27. 04. 2016 18:02)

↑ aladar:

$A(\gamma\alpha_{1} +1 + \beta_{1}+1, \gamma\alpha_{1} + \beta_{1}, \gamma\alpha_{2} + \beta_{2}, \gamma\alpha_{3} + \beta_{3}) =\gamma A(\alpha_{1}+1, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}) + A(\beta_{1}+1, \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3})$

Toto nedává smysl. To zobrazení ti s vektory udělá to, že k první souřadnici přičte jedničku.
Na pravé straně se ani nic "neroznásobuje".

U toho příkladu by si mohl okomentovat, že $A\vec 0 = (1, 0, 0, 0)$ což samozřejmě nemůže být. Musí platit : $A \vec 0_{V_1} = \vec 0_{V_2}$ . Tedy že lineární zobrazení působící na nulový vektor z jednoho prostoru ti musí vrátit nulový vektor z prostoru, do kterého zobrazení A zobrazuje. Tady konkrétně zobrazení A zobrazuje z $A: V^3 \rightarrow V^4$ .
Takže konkrétně: $A \vec 0_{V^3} = \vec 0_{V^4}$ jinak řečeno taky: $A(0,0,0) = (0,0,0,0)$ .
Pokud bys to chtěl ukázat obecně tak zase:
$A\vec z = A(\gamma \vec x + \vec y) =^{(1)} A(\gamma x_1 + y_1, \gamma x_2 + y_2, \gamma x_3 + y_3) = \nl =^{(2)} (\gamma x_1 + y_1 +1, \gamma x_1 + y_1, \gamma x_2 + y_2, \gamma x_3 + y_3) = \nl =(\gamma x_1,\gamma x_1, \gamma x_2, \gamma x_3) + (y_1, y_1, y_2, y_3) + (1, 0,0,0) = \nl =\gamma (x_1,x_1,x_2,x_3) + (y_1, y_1, y_2, y_3) + (1, 0,0,0)$

u rovnítka (1) pouze rozepisuji vektor $\gamma \vec x + \vec y$ jak vypadá po složkách
u rovnítka (2) už nechávám na tento vektor působit zobrazení A. Tedy vyrobím vektor z jiného prostoru podle toho, jak je definováno zobrazení A v zadání.

když ale pustíš A na každý vektor zvlášť, tak dostaneš:
$\gamma A\vec x + A \vec y= \gamma(x_1+1,x_1,x_2,x_3) + (y_1 +1, y_1, y_2, y_3) = \nl = \gamma(x_1,x_1,x_2,x_3) + (y_1 , y_1, y_2, y_3) + (2, 0, 0, 0)$

Takže je vidět, že to neplatí.

vanok · 27. 04. 2016 18:14

Ahoj ↑ aladar:,
Pokial by si mal dokazat, z A je linearne, skutocne to treba dokazat tak ako si napisal
$A(\gamma x+y) = \gamma Ax + Ay$ pre kazde x,y , $\gamma$ .....
No vsak ak A nie je linearne staci nast jedno x,y, $\gamma$
a usetris na viac plno pisania ....

aladar · 06. 05. 2016 12:35 — Editoval aladar (06. 05. 2016 12:57)

Odpovedam trochu neskoro, ale dakujem velmi pekne, konecne som pochopil, co som robil zle. Mam avsak jdeen podobny problem

$A(\alpha _{1}, \alpha _{2}, \alpha _{3}) = (0, \alpha _{1}\alpha _{2}, \alpha _{2}\alpha _{3}, \alpha _{1}\alpha _{3})$
$x = (\alpha _{1}, \alpha _{2}, \alpha _{3})$
$y = (\beta _{1}, \beta _{2}, \beta _{3})$

Neviem, ako to zobrazit pri tej prvej casti
$A(\gamma x+y)$
Prva bude rozhodne nula, no neviem potom ako dalej.
Myslim si, ale neviem, ci to je spravne
$(0, (\alpha_{1}+\beta_{1})(\alpha_{2}+\beta_{2})....)$

Dakujem pekne.

Pritt · 06. 05. 2016 23:13 — Editoval Pritt (06. 05. 2016 23:14)

↑ aladar:

Zobrazení A zadané tímto předpisem dělá slovy toto: (pak už to bude snad jasné)

Bere vektor z $V^3$ a vyrábí z nich vektory z $V^4$ tímto způsobem:
první složka je nula. Druhá souřadnice bude první*druhá souřadnice původního vektoru atd...

Tedy $A(\gamma x+y) = A(\gamma \alpha_1 + \beta_1,\gamma \alpha_2 + \beta_2, \gamma \alpha_3 + \beta_3)$

Tedy první souřadnice je $\gamma \alpha_1 + \beta_1$ , druhá = $\gamma \alpha_2 + \beta_2$ a třetí = $\gamma \alpha_3 + \beta_3$ .

Tady

Myslim si, ale neviem, ci to je spravne
$(0, (\alpha_{1}+\beta_{1})(\alpha_{2}+\beta_{2})....)$

ti chybí $\gamma$ u vsech $\alpha$ .

Pak už by to mohlo být ono :)

vanok · 07. 05. 2016 00:05

Ahoj. Tu zasa ide o nelinearne zobrazenie.
Ako som ti vyssie napisal staci najst jeden proti priklad co protireci vlasnostiam linearity.
Tu mas
A(1,0,0)=(0,1.0,0 .0,0.1)=(0,0,0,0)
A(0,1,0)=(0,0,0,0)
Potom A(1,0,0)+A(0,1,0)=(0,0,0,0)
No vsak
A(1,1,0)=(0,1,0,0)
Co znamena
$A(1,0,0)+A(0,1,0)\neq A(1,1,0)$

Cize A nemoze byt linearne.

aladar · 07. 05. 2016 16:49 — Editoval aladar (07. 05. 2016 16:49)

↑ Pritt:
jj, uz som tomu pochopil, len som si nebol isty. Tu gamu som tam zabudol dopisat, no je mi jasne, ze tam ma byt. Dakujem velmi pekne.

↑ vanok:
Dakujem pekne za priklad, chcel som si vsak vyskusat aj overovanie podla definicii, ak by ma v rychlosti nenapadol ziadny protipriklad :)

Matematické Fórum

#1 27. 04. 2016 14:34

Overenie linearneho zobrazenia

#2 27. 04. 2016 15:37 — Editoval Pritt (27. 04. 2016 15:51)

Re: Overenie linearneho zobrazenia

#3 27. 04. 2016 15:56

Re: Overenie linearneho zobrazenia

#4 27. 04. 2016 16:31

Re: Overenie linearneho zobrazenia

#5 27. 04. 2016 16:37

Re: Overenie linearneho zobrazenia

#6 27. 04. 2016 17:21

Re: Overenie linearneho zobrazenia

#7 27. 04. 2016 17:42 — Editoval Pritt (27. 04. 2016 18:02)

Re: Overenie linearneho zobrazenia

#8 27. 04. 2016 18:14

Re: Overenie linearneho zobrazenia

#9 06. 05. 2016 12:35 — Editoval aladar (06. 05. 2016 12:57)

Re: Overenie linearneho zobrazenia

#10 06. 05. 2016 23:13 — Editoval Pritt (06. 05. 2016 23:14)

Re: Overenie linearneho zobrazenia

#11 07. 05. 2016 00:05

Re: Overenie linearneho zobrazenia

#12 07. 05. 2016 16:49 — Editoval aladar (07. 05. 2016 16:49)

Re: Overenie linearneho zobrazenia

Zápatí