Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 05. 05. 2016 18:29

Statistik
Příspěvky: 239
Reputace:   
 

d´alembertovo kriterium

ahojte, snazim sa dokazat ze rad $\sum_{n=0}^{\infty } \frac{1}{n^2}$ konverguje pomocou d´alembertovho kriteria. Isiel som na to nasledovne $\lim_{n\to\infty }\frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}}=\lim_{n\to\infty }\frac{n^2}{(n+1)^2}=\lim_{n\to\infty }\frac{n^2}{n^2+2n+1}=\lim_{n\to\infty }\frac{1}{2n+1}=\infty $ Preco mi vychadza taka blbost ze sa to rovna nekonecnu ked ten rad je konvergentny?

Offline

 

#2 05. 05. 2016 19:11

Pritt
Příspěvky: 394
Pozice: student
Reputace:   19 
 

Re: d´alembertovo kriterium

↑ Statistik:

Zdravím,

$\lim_{n\to\infty }\frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}}=\lim_{n\to\infty }\frac{n^2}{(n+1)^2}=\lim_{n\to\infty }\frac{n^2}{n^2+2n+1}=\lim_{n\to\infty }\frac{n^2}{n^2(1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2})}=\lim_{n\to\infty }\frac{1}{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}=1 $

I když si nejsem jistý jestli to k něčemu bude i tak.

Offline

 

#3 05. 05. 2016 19:16

Statistik
Příspěvky: 239
Reputace:   
 

Re: d´alembertovo kriterium

No jasne, urobil som chybu. Mate pravdu, treba pouzit ine kriterium.

Offline

 

#4 05. 05. 2016 22:13

Freedy
Místo: Praha
Příspěvky: 2726
Škola: MFF UK (15-18, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   166 
 

Re: d´alembertovo kriterium

↑ Statistik:
zkus použít kondenzační kritérium ;-)


L'Hospitalovo pravidlo neexistuje. Byl to výsledek Johanna Bernoulliho

Offline

 

#5 06. 05. 2016 01:12

vanok
Příspěvky: 14379
Reputace:   740 
 

Re: d´alembertovo kriterium

Ahoj,
Preco nevyuzijes, ze $\frac 1{n^2}<\frac 1{n^2-n}$ pre $ n>1$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#6 06. 05. 2016 11:15 — Editoval Rumburak (06. 05. 2016 13:47)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: d´alembertovo kriterium

↑ Statistik:

Ahoj.
Zdravím i ostatní účastníky diskuse.

Řada $\sum_{n=0}^{\infty } \frac{1}{n^2}$ ovšem nemá smysl, protože její člen odpovídající indexu $n=0$ není definován.

K rozhodnutí o konvergenci řady $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^2}$ se podle mne na první  pohled nabízí integrální kriterium.

Offline

 

#7 06. 05. 2016 11:47 — Editoval jarrro (06. 05. 2016 11:47)

jarrro
Příspěvky: 5436
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: d´alembertovo kriterium

↑ Rumburak:Ahoj. Tiež nachápem prečo je na fóre integrálne kritérium v "nemilosti"


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#8 06. 05. 2016 12:13 — Editoval vanok (07. 05. 2016 17:16)

vanok
Příspěvky: 14379
Reputace:   740 
 

Re: d´alembertovo kriterium

↑ Rumburak:↑ jarrro:
Pozdravujem, mate obaja pravdu.
Ale tu ozaj staci porovnat... ( pokial pracujeme na rade bez preklepu...$\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^2}$, pripade na $\sum_{n=2}^{\infty } \frac{1}{n^2}$...).
Inac aj ja som za integralne kriterium!, ked d'Alembert je nerozhodny a nic ine by ma nenapadlo...


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#9 06. 05. 2016 12:39

Statistik
Příspěvky: 239
Reputace:   
 

Re: d´alembertovo kriterium

pouzitim integralneho kriteria $\int_{}^{} \frac{1}{x^2} dx = -\frac{1}{x}+C$ a $\int_{1}^{\infty } \frac{1}{x^2} dx = 1$ teda konverguje

Offline

 

#10 06. 05. 2016 13:07

jarrro
Příspěvky: 5436
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: d´alembertovo kriterium

áno


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#11 06. 05. 2016 15:08

Eratosthenes
Příspěvky: 2446
Reputace:   131 
 

Re: d´alembertovo kriterium

↑ Statistik:

a jak jsi přišel na to, že

$\lim_{n\to\infty }\frac{1}{2n+1}=\infty $ ??


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#12 06. 05. 2016 18:10

Freedy
Místo: Praha
Příspěvky: 2726
Škola: MFF UK (15-18, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   166 
 

Re: d´alembertovo kriterium

↑ vanok:
tak složitá věc jako integrální kritérium je podle tebe vhodnější? Kondenzační kritérium dokážeš i bez analýzy a geometrickou řadu dokážeš sečíst....

Proč používat kanón na vrabce, když stačí flinta? :D


L'Hospitalovo pravidlo neexistuje. Byl to výsledek Johanna Bernoulliho

Offline

 

#13 06. 05. 2016 20:15

Statistik
Příspěvky: 239
Reputace:   
 

Re: d´alembertovo kriterium

Eratosthenes zrejme som sa pomylil, pardon

Offline

 

#14 06. 05. 2016 22:14

vanok
Příspěvky: 14379
Reputace:   740 
 

Re: d´alembertovo kriterium

↑ Freedy:,
Najprirodzenejsie v tomto cviceni je porovnavujuce kriterium.
No kanom mozes pouzit aj na mravce, ale ...
Co je vhodne pre teba nemusi byt vhodne pre inych.....

Otazka pre teba, je vela metod na urcenie suctu tento rady, ake dokazy si uz nastudoval?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#15 07. 05. 2016 10:24 — Editoval Freedy (07. 05. 2016 10:35)

Freedy
Místo: Praha
Příspěvky: 2726
Škola: MFF UK (15-18, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   166 
 

Re: d´alembertovo kriterium

↑ vanok:
Ahoj,
na konvergenci řady bych použil kondenzační a pak srovnání s geometrickou řadou. Obě věty jsou triviální na dokázání.

Sečíst tuto řadu sice umím, ale dokázat proč tomu tak je už ne.
Jde v podstatě o rozvoj sinu do nekonečného součinu a součtu (taylorův polynom) a poté porovnání koeficientů u x^3. Bohužel nevím, proč se sinus tomu nekonečnému součinu rovná, zřejmě asi proto, protože dle věty, kterou jsme měli, tak pokud se polynom rovná funkci v nekonečně mnoha bodech nad C, pak se ji už rovná pro všechny body C. Nicméně to je jenom heuristická úvaha.

Jinej způsob, kterej ale nevede na moc kloudný výsledek, je napsat si řadu jako mocninnou, která konverguje i pro x = 1, tedy
$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n^2}=\int_{}^{}\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^{n-1}}{n}=\int_{}^{}\bigg( \frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}\bigg) =\int_{}^{}\bigg( \frac{1}{x}\int_{}^{}\sum_{n=1}^{\infty }x^{n-1}\bigg)$
takže máme
$\int_{}^{}\bigg( \frac{1}{x}\int_{}^{}\sum_{n=1}^{\infty }x^{n-1}\bigg)=\int_{}^{}\bigg(\frac{1}{x}\int_{}^{}\frac{1}{1-x}\bigg) = \int_{}^{}\bigg(\frac{1}{x}(-\ln (1-x)+C)\bigg)=\int_{}^{}-\frac{\ln(1-x) }{x}$
Integrál
$-\int_{}^{}\frac{\ln(1-x) }{x}$
však bohužel nelze vyjádřit pomocí konečného počtu elementární funkcí.
Nicméně můžu s jistotou tvrdit (díky příslušným větám), že pokud označím
$Q(x) = -\int_{}^{}\frac{\ln(1-x) }{x}$
Pak
$Q(1) = \frac{\pi ^2}{6}$


L'Hospitalovo pravidlo neexistuje. Byl to výsledek Johanna Bernoulliho

Offline

 

#16 07. 05. 2016 12:45

Eratosthenes
Příspěvky: 2446
Reputace:   131 
 

Re: d´alembertovo kriterium

↑ Freedy:

No, já myslím, že

$\lim_{n\to\infty }\frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}}=\lim_{n\to\infty }\frac{n^2}{(n+1)^2}=\lim_{n\to\infty }\frac{n^2}{n^2+2n+1}=\lim_{n\to\infty }\frac{1}{2n+1}=0$

=> konvergence

je daleko nejjednodušší.


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#17 07. 05. 2016 15:33 — Editoval vanok (07. 05. 2016 15:34)

vanok
Příspěvky: 14379
Reputace:   740 
 

Re: d´alembertovo kriterium

Poznamka.
Dam tu podrobnejsi popis  dokazu o ktorom som pisal vyssie.
Najprv je jasne, ze konvergencia postupnosti
$\sum_{n=2}^{\infty } \frac{1}{n^2}$
$\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^2}$ je ekvivalentna. ( cize su zaroven konvergentne alebo divergentne)
Na dokaz, ze prva rada konverguje pouzijme
$\frac 1{n^2}<\frac 1{n^2-n}= \frac 1{n-1}-\frac 1n$ pre $n>1$
Teraz, staci pouzit metodu "teleskopie " ... Co umozni ukoncit dokaz... Ze to vsetci dokazete!


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#18 07. 05. 2016 15:54

vanok
Příspěvky: 14379
Reputace:   740 
 

Re: d´alembertovo kriterium

↑ Freedy:
Tu mas trochu historie o tej sume
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Basel_problem

Ze je to ozaj zaujimave.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#19 07. 05. 2016 16:34

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 6091
Škola:
Reputace:   140 
 

Re: d´alembertovo kriterium

Eratosthenes napsal(a):

↑ Freedy:

No, já myslím, že

$\lim_{n\to\infty }\frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}}=\lim_{n\to\infty }\frac{n^2}{(n+1)^2}=\lim_{n\to\infty }\frac{n^2}{n^2+2n+1}=\lim_{n\to\infty }\frac{1}{2n+1}=0$

=> konvergence

je daleko nejjednodušší.

=1 nie 0

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson