Matematické Fórum

bert.blader · 15. 05. 2016 09:23

Dobrý den,

našel by se někdo, kdo by mi vysvětlil jak na následující úkoly?
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-05/96231_111.png

Budu to brát postupně a pasát, co si myslím že vím o každém úkolu:

1) Funcke je spojitá v nějakém bodě, pokud je tam funkční hodnota stejná jako limita.
V tomto případě je funkční hodnota 0. Zkusil jsem spočítat dvojnásobné limity:
$\lim_{x\to0} \lim_{y\to0} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} = 1$
$\lim_{y\to0} \lim_{x\to0} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} = -1$

Dvojnásobné limity se nerovnají, neexistuje tedy dvojná limita $\lim_{(x,y)\to(0,0)}$ a funkce není v bodě (0,0) spojitá.

2) Tady vůbec nevím jak spočítat parciální derivace funkce, když je v tom bodě definovaná jakoby "mimo normální předpis". Tipl bych si, že prostě zderivuji funkční hodnotu v daném bodě a obě derivace budou 0. Ale nevím co s tím.

3) Vím, že pokud má funkce na okolí nějakého bodu všechny parciální derivace a tyto parciální derivace jsou spojité v tom bodě, tak je funkce v daném bodě diferencovatelná.
Ale to je zřejmě úzce spjato s bodem 2), takže si taky nevím rady.

Děkuji za případné reakce.

Rumburak

↑ bert.blader:

Ahoj.

Správně jsi zjistil, že daná funkce není v [0, 0] spojitá. Porovnej tento výsledek s větami

Věta 1: Má-li fce v daném bodě totální diferenciál, pak je v tomto bodě spojitá.

Věta 2: Má-li fce v daném bodě spojité parciální derivace, pak má v tomto bodě i totální diferenciál.

Šlo by úlohu vyřešit i bez těchto vět - výpočtem PD a z definice TD, ale bylo by to poněkud pracnější.

bert.blader · 16. 05. 2016 15:04

↑ Rumburak:

Nejsem si úplně jistý, jak bych mohl příklad pomocí těchto vět vyřešit.

Z toho, že funkce v daném bodě není spojitá nemohu z vámi uvedených vět nic usoudit nebo ano?

Přijde mi, že pokud spočítám parciální derivace a budou spojité, tak mohu z říct, že funkce je v daném bodě spojitá.
Ale nemohu tvrdit opačně, že funkce nemá spojité parciální derivace (nebo nemá totální diferenciál), protože není spojitá.

Nebo se pletu? Nejsem si jistý co z čeho vyplývá a co naopak nevyplývá.

Bati · 16. 05. 2016 17:39

Ahoj ↑ bert.blader:.
Viz obměněná implikace, 6. třída ZŠ.

bert.blader · 16. 05. 2016 19:37

↑ Bati:
Máte pravdu, vůbec mě to nenapadlo. Tak už je mi to jasné.
Děkuji

Matematické Fórum

#1 15. 05. 2016 09:23

Spojitost a diferencovatelnost fce více proměnných

#2 16. 05. 2016 09:55 — Editoval Rumburak (16. 05. 2016 09:59)

Re: Spojitost a diferencovatelnost fce více proměnných

#3 16. 05. 2016 15:04

Re: Spojitost a diferencovatelnost fce více proměnných

#4 16. 05. 2016 17:39

Re: Spojitost a diferencovatelnost fce více proměnných

#5 16. 05. 2016 19:37

Re: Spojitost a diferencovatelnost fce více proměnných

Zápatí