Matematické Fórum

liamlim

Ahoj!

Mám takové malinké zobecnění Eulerovy věty. Můžete zkusit dokázat (můj důkaz souvisí s Lucasovými čísly):

Pro libovolné $n$ dělící $x^2-x+1$ platí: $1\equiv f(n)\cdot x^{\frac{\varphi(n)}{2}}\mod n$

kde $f(n)$ je funkce definována následovně:

$f(n) = f(n-12)$
$f(0) = f(3) = 2$ $f(1) = f(2) = f(5) = f(10) = 1$ , $f(4) = f(7) = f(8) = f(11) = -1$ , $f(6) = f(9) = -2$

Použít lze třeba následovně: Zřejmě $19$ dělí $8^2-8+1$ . Zároveň $f(19) = f(7) = -1$ Taky $\varphi(19) = 18$ . Tedy $1\equiv -1\cdot 8^9\mod 19$ neboli $-1\equiv 8^9 = 2^{27} = 2^{18}\cdot 2^9\mod 19$ . Tedy $2^9\equiv -1\mod 19$ .

liamlim

Jsem přemýšlel, jak se zbavit té divné funkce s dvanácti hodnotami. Došel jsem k následujícímu:

Pokud $k$ dělí $a^2+ab+b^2$ potom $a^{2n-1} + b^{2n-1} \equiv f(n)\cdot (a+b)^{2n+1}\mod k$ pro funkci $f$ takovou, že

$f(0) = 2$
$f(1) = -1$
$f(2) = -2$
$f(3) = 1$
$f(n+4) = f(n)$

edit.: doufam ze jsem to spravne prepsal. casem to zkontroluji. snad mam dobre znamenka u tech $f$

Matematické Fórum

#1 02. 06. 2016 13:40 — Editoval liamlim (02. 06. 2016 13:40)

Eulerova věta

#2 02. 06. 2016 17:01 — Editoval liamlim (02. 06. 2016 17:10)

Re: Eulerova věta

Zápatí