Matematické Fórum

vanok · 05. 04. 2016 11:01 — Editoval vanok (14. 06. 2016 07:35)

Pozdravujem,
V tomto vlakne http://forum.matweb.cz/viewtopic.ph … 89#p511989 sa hovori o dokaze nerovnosti Cauchy-Schwarz.
Ake dokazy tejto nerovnosti poznate?

vanok · 05. 04. 2016 12:34

Pripomenme, ze prehilbertovskom priestore E, citovana nerovnost sa pise.
Pre $x,y \in E$ nenulove, mame
$|<x,y>|\le ||x|| \cdot ||y||$ .
Rovnost plati len a len ak $x,y$ su linearne zavisle.

Kazdy dokaze prepisat, do vseobecnej formy, najznamejsi dokaz, ktory v citovanom prispevku nam pripomenul kolega Freedy.( asi vsetkych nas to tak ucili)

Iny dokaz ( a iste od teraz ho budete pouzivat) je zalozeny na zapise do rozvoja
$||\frac x{||x||}\pm \frac y{||y||} ||^2=...$ .
Ze to dokazete dokoncit.

Ine dokazy, ak poznate nejaky iny, tak rad sa poucim.

vanok · 25. 05. 2016 12:36

Dalsia myslienka, ktora moze byt uzitocna na ine dokazy nerovnosti Cauchy-Schwarz.(NCS)

Predpokladajme ze sme v prehilbertovskom priestore (= euklidovsky priestor) E.
Je jasne, ze NCS pre urcite x,y v E, plati pochopitelne v jednom podpriestore dimenzie 2.
Cize aj, ak ju vieme dokazat v lubovolnom podpriestore dim 2, tak plati v celom priestore.
(Pochopitelne vsetki zname dokazy platia aj v podpriestoroch dim 2)

Neda va to inspiracie na nejaky iny dokaz?

vanok · 11. 06. 2016 17:54 — Editoval vanok (14. 06. 2016 06:07)

Tu vyuzijem predosly prispevok ↑ vanok:.
Cize predpokladam, ze som v euklidovskom priestore s jednou ortonormalnou bazou.( ze taka baza existuje to iste kazdy vie v takomto priestore ukazat).
Nech x,y maju suradnice v tejto baze (a ,b) a (c,d)
Pre komplexne cisla $z_1=a-ib; z_2=c+id$ plati, ze realna cast sucinu $z_1.z_2$ je skalarny sucin $<x|y>$ a jeho imaginarna cast je $\omega(x,y)= ad-bc$ .
Vyraz $|z_1.z_2|=|z_1|.|z_2|$ na druhu da
....
Staci ?
Ze to sami ukoncite.

Dobra novinka: podobny dokaz sa da generalizovat aj na hermitovsky sucin. (V jednom z nich sa pouziju kvaterniony )

vanok · 14. 06. 2016 07:06 — Editoval vanok (14. 06. 2016 07:21)

Iste ste tiez rozmyslali co da $||\frac x{||x||}- \frac y{||y||} ||^2$ v pripade, ak uvazujeme hermitovsky skalarny sucin.
Urcite dokazete nerovnost:
$\left \| x \right \|\left \| y \right \| \ge |\Re\langle x,y\rangle|$ $(*)$
( ako mi to napisal aj kolega Freedy v pm, ale $(*)$ , nam da NCS vdaka malej uvahe)
Pochopitelne to da rovnost len a len ak $\frac x{||x||}= \frac y{||y||}$ ( povedane slovamy: x,y su pozivne kolinearne)
Je celkom jednoduche ukazat, ze existuje komplexne cislo $\theta$ take ze $|\theta|=1$ a $|<x|y>|=\theta .<x|y>$
( staci zobrat $\theta =\frac {<x|y>}{|<x|y>|}$ ak $<x|y>\neq 0$ , inac polozme $\theta=1$ ).

A teraz ak pouzijeme vhodne vektory v $(*)$ dostaneme NCS.....

vanok · 24. 06. 2016 11:32

Doplnim tu vsetki podrobnosti dokazu, ( ako si to zela viacej kolegov)
Mame $|<x|y>|=\theta .<x|y>=Re(\theta <x|y>)=Re(<x|\theta y>)$
Nerovnost $(*)$ pre $x,\theta y$ , da $|<x|y>|=Re<x|\theta y>\leq ||x|| .||\theta y||=||x||.||y||$
( rovnost v pripade pozitivnej kolinearity)
Ak treba, mozem pridat aj definiciu hermitovskeho skalarneho sucinu.

Matematické Fórum

#1 05. 04. 2016 11:01 — Editoval vanok (14. 06. 2016 07:35)

Cauchy-Schwarz

#2 05. 04. 2016 12:34

Re: Cauchy-Schwarz

#3 25. 05. 2016 12:36

Re: Cauchy-Schwarz

#4 11. 06. 2016 17:54 — Editoval vanok (14. 06. 2016 06:07)

Re: Cauchy-Schwarz

#5 14. 06. 2016 07:06 — Editoval vanok (14. 06. 2016 07:21)

Re: Cauchy-Schwarz

#6 24. 06. 2016 11:32

Re: Cauchy-Schwarz

Zápatí