Matematické Fórum

Makrofág · 25. 06. 2016 23:17

Zdravím vás!

Pomozte mi prosím. Chci najít dva nesoudělné zlomky, jejichž součet je celé číslo a jejichž součin také celé číslo. Pořád se tím hrabu a zdá se mi, že žádné takové zlomky neexistují, ale neumím dokázat ani jejich existenci ani jejich neexistenci. Pro mě je to záležitost mnohapísmenkové algebry, ve které tonu.
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} =z_{1}, \frac{a}{b} * \frac{c}{d} =z_{2}$
.
Podmínky: $a, b, c, d, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{Z}\wedge b, d \neq0 \wedge b\nmid a \wedge d \nmid c$
.
Zjistil jsem, že $d | a \wedge b|c$ a nějaké další zákonitosti, které mě ale k ničemu nedovedly. Poraďte mi, jak byste na tohle šli?

Andrejka3 · 26. 06. 2016 00:35

↑ Makrofág:
Ahoj.
Pak $a=md$ , $c=nb$ , kde $(m,b)=1$ , $(n,d)=1$ (zavorka je nsd).
Z podmínky pro součet máme:
$\frac{md}{b}+\frac{nb}{d}=\frac{md^2+nb^2}{bd}$ . Pokud $bd \mid md^2+nb^2$ , pak $b\mid md^2+nb^2$ , tedy
$b\mid md^2$ , takže $b\mid d^2$ .
Proto, kdyby pro prvočíslo p platilo: $p\mid b$ , pak $p\mid d$ . Odkud $p\mid md=a$ , což by byl spor s $(a,b)=1$ . Proto nemá $b$ v rozkladu žádné prvočíslo. Analogicky pro $d$ .