Matematické Fórum

saska · 09. 09. 2016 13:32

Ahoj, nevím si rady s tímhle příkladem:

Vyberte platné kroky matematické indukce při důkazu tvrzení: Pro každé přirozené n≥2 platí:
$\sum_{k=2}^n \frac{1}{k(k-1)} = 1 - \frac{1}{n}.$

Možnosti:
1/ Při důkazu indukčního kroku předpokládáme platnost vztahu pro nějaké n≥2 a dokazujeme jeho platnost pro n+1
2/ V indukčním kroku dokážeme platnost vztahu:
$\sum_{k=2}^{n+1} \frac{1}{k(k-1)} = 1 - \frac{1}{n+1}.$
3/ V indukčním kroku předpokládáme platnost vztahu pro n=1 a dokazujeme jeho platnost pro n
4/ V prvním kroku dokážeme vztah pro n=2..

Myslím, že 2/ a 4/ jsou správně, ale 1/ si nejsem jistý.

Rumburak · 09. 09. 2016 14:05

↑ saska:

Ahoj.

Jako první krok provedeme akci popsanou v č . 4.
Jako druhý krok (tzv. indukční krok) provedeme akci popsanou v č. 1.

Akce pod č. 3 je formulována poněkud nesmyslně,
Akce pod č. 2 je formulována ne dosti přesně.

saska · 09. 09. 2016 14:13

↑ Rumburak:
Ahoj,
Děkuju za odpověď.

Jen 2 otázky:
V odpovědi č. 1 je napsáno "předpokládáme platnost vztahu pro nějaké n≥2". Nemělo by to být pro nejmenší přirozené číslo, které vyhovuje podmínce?

Odpověď č. 2: Můžu se jen zeptat, jak by to muselo vypadat, aby to bylo úplně přesně?

misaH · 09. 09. 2016 14:45 — Editoval misaH (09. 09. 2016 14:50)

↑ saska:

Nemalo.

1. Pre najmenšie možné n sa vzťah overí dosadením.

2. Potom sa predpokladá, že ten vzťah platí pre nejaké k (väčšie alebo rovné 2).

3. Dokáže sa (využitím predpokladu 2. ), že vzťah platí aj pre číslo k+1 (inými slovami predpokladáme platnosť pre nejaké prirodzené číslo a dokážeme ho aj pre bezprostredne nasledujúce číslo. Pretože pre najmenšie možné n je platnosť dokázaná dosadením, platí aj pre každé nasledujúce prirodzené číslo, čo bolo treba dokázať.)

Rumburak

↑ saska:

Princip indukce můžeme formulovat třeba takto:

Jsou-li splněny výroky

(1) $V(n_0)$ pro některé přirozené číslo $n_0$ ,

(2) $V(n) \Rightarrow V(n+1)$ pro libovolné přirozené číslo $n \ge n_0$ ,

potom

(3) pro libovolné přirozené číslo $n \ge n_0$ platí $V(n)$ .

Poznamenejme:

- O přirozených číslech $k < n_0$ věta nic neříká - výrok $V(k)$ zde být splněn může, ale nemusí.
V praxi se snažíme vzít přirozené $n_0$ z kroku (1) co možná nejmenší, aby závěr (3) byl co nejsilnější,
je-li toto naším cílem - ale s pohledu čistě logického není takový cíl nutností;

- Je-li $V(n) \Rightarrow V(n+1)$ výrok (a ne nějaký nesmysl, v němž by vystupovaly nedefinované pojmy
či symboly) , pak je podle zákonů matematcké logiky "automaticky" pravdivý i v případě nepravdivosti
výroku $V(n)$ (tedy bez ohledu na platnost výroku $V(n+1)$ !) Mj. i proto potřebujeme krok (1) .
Teprve plati-li $V(n_0)$ , plyne z (2) $V(n_0 + 1)$ atd. Bez předpokladu (1) bychom uměli takovouto
"zjednodušenou" indukcí "dokázat" spousty tvrzení zřejmě nepravdivých.

Doufám, že jsem tím vysvětlil i zbývající nejasnosti.