Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Ahoj, nevím si rady s tímhle příkladem:
Vyberte platné kroky matematické indukce při důkazu tvrzení: Pro každé přirozené n≥2 platí:
Možnosti:
1/ Při důkazu indukčního kroku předpokládáme platnost vztahu pro nějaké n≥2 a dokazujeme jeho platnost pro n+1
2/ V indukčním kroku dokážeme platnost vztahu:
3/ V indukčním kroku předpokládáme platnost vztahu pro n=1 a dokazujeme jeho platnost pro n
4/ V prvním kroku dokážeme vztah pro n=2..
Myslím, že 2/ a 4/ jsou správně, ale 1/ si nejsem jistý.
Offline
↑ saska:
Ahoj.
Jako první krok provedeme akci popsanou v č . 4.
Jako druhý krok (tzv. indukční krok) provedeme akci popsanou v č. 1.
Akce pod č. 3 je formulována poněkud nesmyslně,
Akce pod č. 2 je formulována ne dosti přesně.
Offline
↑ Rumburak:
Ahoj,
Děkuju za odpověď.
Jen 2 otázky:
V odpovědi č. 1 je napsáno "předpokládáme platnost vztahu pro nějaké n≥2". Nemělo by to být pro nejmenší přirozené číslo, které vyhovuje podmínce?
Odpověď č. 2: Můžu se jen zeptat, jak by to muselo vypadat, aby to bylo úplně přesně?
Offline
↑ saska:
Nemalo.
1. Pre najmenšie možné n sa vzťah overí dosadením.
2. Potom sa predpokladá, že ten vzťah platí pre nejaké k (väčšie alebo rovné 2).
3. Dokáže sa (využitím predpokladu 2. ), že vzťah platí aj pre číslo k+1 (inými slovami predpokladáme platnosť pre nejaké prirodzené číslo a dokážeme ho aj pre bezprostredne nasledujúce číslo. Pretože pre najmenšie možné n je platnosť dokázaná dosadením, platí aj pre každé nasledujúce prirodzené číslo, čo bolo treba dokázať.)
Offline
↑ saska:
Princip indukce můžeme formulovat třeba takto:
Jsou-li splněny výroky
(1) pro některé přirozené číslo ,
(2) pro libovolné přirozené číslo ,
potom
(3) pro libovolné přirozené číslo platí .
Poznamenejme:
- O přirozených číslech věta nic neříká - výrok zde být splněn může, ale nemusí.
V praxi se snažíme vzít přirozené z kroku (1) co možná nejmenší, aby závěr (3) byl co nejsilnější,
je-li toto naším cílem - ale s pohledu čistě logického není takový cíl nutností;
- Je-li výrok (a ne nějaký nesmysl, v němž by vystupovaly nedefinované pojmy
či symboly) , pak je podle zákonů matematcké logiky "automaticky" pravdivý i v případě nepravdivosti
výroku (tedy bez ohledu na platnost výroku !) Mj. i proto potřebujeme krok (1) .
Teprve plati-li , plyne z (2) atd. Bez předpokladu (1) bychom uměli takovouto
"zjednodušenou" indukcí "dokázat" spousty tvrzení zřejmě nepravdivých.
Doufám, že jsem tím vysvětlil i zbývající nejasnosti.
Offline