Matematické Fórum

dominiksep · 16. 09. 2016 20:05

Ahoj, trošičku jsem se pral s vysvětlením výpočtu neurčitého integrálu pomocí substituce (v tý učebnici by to mohli líp rozepsat) a s něčím bych potřeboval poradit.
U první substituční metody bych potřeboval zjistit, jestli to chápu správně:
Nahrazuji funkci proměnnou. Využívám vztahu pro derivaci složené funkce:
$\left [ G(\varphi (x) \right )]'=G'\left [ \varphi (x) \right ]\cdot \varphi' (x)=g\left [ \varphi (x) \right ]\cdot \varphi' (x)$ (1)
Z toho mi vyjde:
$\int g\left [ \varphi (x) \right ]\cdot \varphi' (x)=G(\varphi (x))$
Takže principiálně potřebuju najít nějaký $\varphi (x)$ a k němu $\varphi (x)'$ . Příklad:
$\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int \frac{2x}{\sqrt{x^{2}+1}}\mathrm{d}x$
Tady jsem si to $\varphi (x)$ a $\varphi (x)'$ našel:
$\frac{1}{2}\int \varphi (x)'\frac{1}{\sqrt{\varphi (x)}}\mathrm{d}x =\frac{1}{2}\int 2x\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\mathrm{d}x$
$\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{u}}\mathrm{d}u$
V předchozím kroku jsem se zbavil $\varphi (x)'$ , neboť podle vzorce (1) mi stejně nakonec "zmizí". Vysvětlil jsem si to dobře? Poté pokračuji následovně:
$\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{u}}\mathrm{d}u=\sqrt{u}+C=\sqrt{x^{2}+1}+C$
Je to správně?

A nyní druhá substituční metoda. Byl zde uveden příklad:
$\int \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{d}x$
$x=\psi (t)=\sin t$
Tak tady už začínám mít trochu problém. Ja vůbec můžu nahradit x sinem? Jak z toho sinu vydoluji třeba hodnotu 10? V tomto případě to nevadí, protože definíční obor funkce odpovídá oboru hodnot sinu, ale to jsem si musel domyslet a kniha se o něčem takovým vůbec nezmiňuje...
$\int \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{d}x=\int \sqrt{1-\sin ^{2}t}\cos t \mathrm{d}t$
V tomto kroku mám problém s tím, že se tam najednou objevuje cos(t). Jak to tam můžu jen tak přidat? To si to můžu prostě jen tak vynásobit kosinem? Zbývající část příkladu už chápu.
Díky,
Dominik

misaH · 16. 09. 2016 20:31 — Editoval misaH (16. 09. 2016 20:31)

↑ dominiksep:

Potrebuješ nahradiť nielen x, ale aj dx.

Ak miesto x dáš sint, tak $dx= \cos t dt$ (derivácia)

dominiksep · 16. 09. 2016 20:53

↑ misaH:
OK, už mi začíná svítat. Můžete to někdo prosím obecně rozvést? O tomhle se v tý knize nezmiňují ani okrajově.

jarrro · 17. 09. 2016 11:10

Akože nezmieňujú veď si to uviedol v prvej časti príspevku Všetko je to len ekvivalentne napísaný fakt, že
$$f{\(g{\(x$}\)}\)^{\prime}=f^{\prime}{$g{\(x$}\)}g^{\prime}{$x$}$

dominiksep

↑ jarrro:
Já jsem tu podmínku pochopil tak, že si v tom předpisu integrované funkce mám najít to g(x) i g'(x) jako jsem to udělal u té první metody.
Je to teda tak, že u té druhé si mám domyslet x=g(t)=sin(t) a abych získal to g'(t)=x'=1, tak mám udělat:
$\int \sqrt{1-x2}\cdot 1 \mathrm{d}x$
Ta jednička je hledaná derivace x. Pokud si tedy za x dám sin(t), bude derivace x (tedy jednička) cos(t).
Chápu to správně?
Díky
Dominik

jarrro · 17. 09. 2016 12:04 — Editoval jarrro (17. 09. 2016 12:05)

↑ dominiksep: áno niekedy je jednoduchšie priamo zintegrovať súčin $f{$g{\(x$}\)}g^{\prime}{$x$}$ ( Napr. sa v ňom niečo pekne vykráti na tabuľkovú funkciu.)
A niekedy je tabuľková práve fcia f potom je účelnejšie intergrovať ( podľa t a na konci sa vrátiť) $f{$t$}$
Inak je to stále iný prepis vety o derivácii zloženej fcie

Matematické Fórum

#1 16. 09. 2016 20:05

Výpočet neurčitého integrálu pomocí substituce

#2 16. 09. 2016 20:31 — Editoval misaH (16. 09. 2016 20:31)

Re: Výpočet neurčitého integrálu pomocí substituce

#3 16. 09. 2016 20:53

Re: Výpočet neurčitého integrálu pomocí substituce

#4 17. 09. 2016 11:10

Re: Výpočet neurčitého integrálu pomocí substituce

#5 17. 09. 2016 11:24 — Editoval dominiksep (17. 09. 2016 11:25)

Re: Výpočet neurčitého integrálu pomocí substituce

#6 17. 09. 2016 12:04 — Editoval jarrro (17. 09. 2016 12:05)

Re: Výpočet neurčitého integrálu pomocí substituce

Zápatí