Matematické Fórum

maister · 30. 04. 2009 16:58

zdravim vsechny!! Prosím vypočítá někdo tenhle maturitní příklad?? Vůbec nevím jak začít, nemohl by to někdo popsat a celé to zjednodušit?

Výsledek má vyjít 1 a definiční obor: x se nesmí rovnat k krát pí lomeno 2..

Rumburak

Začal bych sloučením zlomků pomocí společného jmenovatele.

EDIT. Beru tuto radu zpět, přehlédl jsem se a připadalo mi, že se tam hned po sloučení zlomků něco vykrátí, takže pardon.

maister · 30. 04. 2009 17:06

to jsem zkoušel, ale nedopátral jsem se k výsledku.. prostě chtěl bych vidět ten postup

M@rvin · 30. 04. 2009 17:52

Zkus poučít součtové vzorce (tadyhttp://cs.wikipedia.org/wiki/Goniometrick%C3%A1_funkce), celé to rozepsat, pak cotg přepsat na cos/sin a také rozepsat, hodně by se toho mělo pokrátit, až pak bych oba zlomky sečetl.

maister · 30. 04. 2009 18:10

a můžu použít v tom prvním čitateli vzorec: sin(x+y)=sinxcosx+cosxsiny, když je sinx na druhou???

M@rvin · 30. 04. 2009 18:21

jasně že můžeš, bude to vypadat takhle:
$sin^2(x+y)=(sinx*cosy+cosx*siny)^2$

M@rvin · 30. 04. 2009 18:22 — Editoval M@rvin (30. 04. 2009 18:22)

mimochodem tam má být sinxcosy ne sinxcosx,ale to je asi jen překlep.

marnes · 30. 04. 2009 20:06

↑ maister:Tak teď nevím, jestli jsem kouzlil nebo počítal, když tak mne ukamenujte.

čitatel prvního zlomku jsen upravil na (-cos x)^2 jak? dosadil jsem si x=0, takže sin 3/2 pi je -1, takže jakoby jsme začínali graficky -cosx
jmenovatel prvního zlomku - když odečtu 2pí, tak je to vlastně (cotg x)^2=(cos x/sin x)^2
takže první zlomek je sin^2x
čitatel druhého zlomku - použil jsem toho, že funkce je lichá, takže mínus před sin, ale je tam na druhou, takže čitatel je sin^2x
jmenovatel druhého zlomku - když dosadím za x=0, tak mi to vychází na tg x - (tg x)^2=(sin x/ cos x)^2
po úpravě druhý zlomek vychází cos^2x
výsledek sin^2x+cos^2x=1

M@rvin · 30. 04. 2009 23:00

↑ marnes:
vypadá to geniálně,ale nejsem si jist zda je možné dosadit u jednoho výpočtu za x pokaždé něco jiného, jestli se tím neporuší hodnota funkce, navíc to že se grafy gon. funkcí protnou v určitém bodě neznamená že tou druhou funkcí lze nahradit tu první, myslím že způsob dosait za x pokaždé to co nám vyhovuje aby se to rovnalo něčemu jinému není správný, ale pokud se pletu, tak kamenujte mě a marnese oslavujte jako genia.

jelena · 01. 05. 2009 00:25

Zdravím vás :-)

můj názor je, že kolega ↑ marnes: by nemel dávat vzor, jak pomocí dosazování konkrétní hodnoty dojdeme k pozadovanému výsledku, zejména, když je výsledek znamy. Nepůsobí to dost věrohodně.

Určitě vycházel z dobrého předpokladu, že z periodičnosti goniometrických funkcí plyne, že můžeme "odmyslit" určité násobky nebo díly periody a převest buď na stejnou nebo na jinou goniometrickou funkci (třeba sin(pi/2 +x) = cos x a podobně: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~robova/s … unkce.html )

Osobně bych byla pro použití "regulérních a dokázaných" úprav - povede to bez problém k výsledku a u maturity nezpůsobí žádnou kolizi. Vzorce jsou v tabulkách a dnešní pravidla maturit umožňují použití tabulek.

Tak bych nekouzlila - a jsem pro standardní postupy, můj názor ovšem.

Předpokládám, že s použitím vzorců problém není. A také pozor na podmínky.

Hodně zdaru.

M@rvin · 01. 05. 2009 08:44

↑ jelena:
Děkuji že jsi taky přídala svůj názor na to kouzlení, ale zajímalo by mě jestli je konkrétně tato úprava správně.

marnes · 01. 05. 2009 09:22

↑ M@rvin:To dosazování hodnot(jedné) nebylo úplně náhodné. Spíše jsem popisoval grafickou práci a posouvání - transformaci - grafu ve směru osy x. Myšlenky a obrázky se špatně popisují:-( Já využíval u všech situací obrázek - graf dané funkce a posunul ho a vyšel mi graf funkce jiné. Vždyť přece platí pro cos(x-pí/2)=sin x a nemusím to dokazovat přes součtové vzorce. Samozřejmě u maturity, pokud učitel vyžaduje práci se vzorci - nic nenamítám.

M@rvin · 01. 05. 2009 09:41

↑ marnes:
To ano, neříkam že je to špatně, je jasné že rovnici jde vyřešit když za všechna x dosadíš jedno číslo, ale to co mi vrtá hlavou je, že jsi u jedné rovnice dosadil za každé x něco jiného, co se ti právě hodilo, jestli se tím nezmění výsledek.

marnes · 01. 05. 2009 09:50

↑ M@rvin:Možná si nerozumíme( to nemyslím ve zlém). Použil jsem 2x práci s číslem nula, ale jen proto, abych na grafu zjistil posunutí a zjistil, v jakou novou funkci to přešlo. Jak psala Jelena, to co jsem provedl graficky jde upravit pomocí vzorců. A do toho se mi nechtělo. U zbylých dvou úprav jsem použil vlastností goniometrických funkcí, a tyto úpravy jsou legální a platí.

marnes · 01. 05. 2009 09:59 — Editoval marnes (01. 05. 2009 10:01)

↑ M@rvin:Jinak třeba ( sin3/2pí+x)=sin3/2pícosx+sinxcos3/2pí=-1.cosx+sinx.0=-cosx. Takhle to zřejmě po tobě bude chtít učitel. No a já si to zjistil z grafu.
Je pravdou, že v zadání je vypočítat:-) ne dokázat. Jelikož jsi napsal výsledek, tak jsem to jen dokazoval

jelena · 01. 05. 2009 10:22

Název tématu je sice "goniometrické funkce", ale v zadání je "úprava goniometrických výrazů".

Co rozumíme "úpravou výrazu" snad nemusím opakovat - je to tak 2. maturitní otázka, k té snad dojde každý.

Úprava goniometrických výrazů také vyžaduje zápis přechodů z výrazu "složitějšího" na výraz "jednodušší" za pomocí znaku "=" a za použití vztahů platných pro odpovídající definiční obor proměnné.

Zda platné vztahy se odvozuji pomocí jiných platných vztahů nebo graficky - to je na další debatu.

Ale kolega ↑ marnes: v příspěvku uvádí, že "dosadil x=0". A toto tvrzení je příčinou debaty v tomto tématu.

Možna, kdyby příspěvek kolegy rovnou obsahoval zápis úprav s "=", tak by žádná debata nebyla.

Proto bych navrhovala, aby se někdo ujal zápisu úprav (teď se mi nechce ani trochu - ale když budu donucena, tak se ujmu, ale až se probudim) - a v náhledu vidim, že kolega marnes už se ujal úprav. Tak hodně zdaru.

--------------------------------------------

Pokud je potřeba představovat grafy, existuje dost dostupných programů pro rychlou prezentaci grafů.

Chrpa · 01. 05. 2009 10:23 — Editoval Chrpa (01. 05. 2009 11:02)

↑ marnes:
Když použiješ součtové vzorce a tabulkových hodnot a trochu si
s tím příkladem pohraješ pak opravdu dospěješ k výrazu
$\sin^2 x+\cos^2 x=1$
Üpravu se mi sem nechce ťukat.
Použil jsem tyto vzorce:
$cotan x=\frac{\cos x}{\sin x}$
$\sin(x+y)=\sin x\cdot\cos y+\sin y\cdot\cos x$
$\sin(x-y)=\sin x\cdot\cos y-\sin y\cdot\cos x$
$\cos(x-y)=\cos x\cdot\cos y+\sin x\cdot\sin y$
$\sin(-x)=-\sin x$

a tyto tabulkové hodnoty:
$\sin\,\frac{3\pi}{2}=-1$
$\cos\,\frac{3\pi}{2}=0$
$\sin\,2\pi=0$
$\cos\,2\pi=1$

Chrpa · 01. 05. 2009 11:57 — Editoval Chrpa (01. 05. 2009 17:36)

↑ marnes:
V rámci tréninku:
$\frac{\sin^2\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)}{cotan^2\left(x-2\pi\right)}+\frac{\sin^2(-x)}{cotan^2\left(x-\frac{3\pi}{2}\right)}=\nl\frac{\sin^2\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)\cdot\sin^2(x-2\pi)}{\cos^2(x-2\pi)}+\frac{\sin^2 x\cdot\sin^2\left(x-\frac{3\pi}{2}\right)}{\cos^2\left(x-\frac{3\pi}{2}\right)}=\nl\frac{\left(\sin\frac{3\pi}{2}\cdot\cos x+\cos\frac{3\pi}{2}\cdot\sin x\right)^2}{\left(\cos x\cdot\cos\,2\pi+\sin x\cdot\sin\,2\pi\right)^2}+\frac{\sin^2x\left(\sin x\cdot\cos\frac{3\pi}{2}-\cos x\cdot\sin\frac{3\pi}{2}\right)^2}{\left(\cos x\cdot\cos\frac{3\pi}{2}+\sin x\cdot\sin\frac{3\pi}{2}\right)^2}=\nl\frac{(\cos x+0)^2\cdot(\sin x-0)^2}{(\cos x+0)^2}+\frac{\sin^2(0+\cos x)^2}{(0-\sin x)^2}=\nl\frac{\cos^2 x\cdot\sin^2 x}{\cos^2 x}+\frac{\sin^2 x\cdot\cos^2 x}{\sin^2 x}=\sin^2 x+\cos^2 x=1$
Podmínky:
$x\,\ne\,2\pi\nlx\,\ne\,\frac{3\pi}{2}$

M@rvin · 01. 05. 2009 12:45

↑ Chrpa:

myslím že tím je přiklad vyřešen a debata ukončena, uplně jsem nepochopil co kolega ↑ marnes: psal v svém prvním řešení, tohle jsou samozřejmě naprosto ekvivalentní úpravy.

maister · 01. 05. 2009 18:08

chlapi, teda luxus.. dik moc!! jinak jsem si vsiml mensi chybicky v druhem radku v citateli je sin^2, je tam dvakrat, jenye ve tretim radku je jiz rozlozen pomoci souctoveho vzorce jen jeden sin.. ale ve ctvrtem se uz vyskytuje upraveny.. ale ok, dik moc

Chrpa · 02. 05. 2009 09:19 — Editoval Chrpa (02. 05. 2009 09:25)

↑ maister:
Takže takto:
$\frac{\sin^2\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)}{cotan^2\left(x-2\pi\right)}+\frac{\sin^2(-x)}{cotan^2\left(x-\frac{3\pi}{2}\right)}=\nl\frac{\sin^2\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)\cdot\sin^2(x-2\pi)}{\cos^2(x-2\pi)}+\frac{\sin^2 x\cdot\sin^2\left(x-\frac{3\pi}{2}\right)}{\cos^2\left(x-\frac{3\pi}{2}\right)}=\nl\frac{\left(\sin\frac{3\pi}{2}\cdot\cos x+\cos\frac{3\pi}{2}\cdot\sin x\right)^2\cdot\left(\sin x\cdot\cos\,2\pi-\cos x\cdot\sin\,2\pi\right)^2}{\left(\cos x\cdot\cos\,2\pi+\sin x\cdot\sin\,2\pi\right)^2}+\frac{\sin^2x\left(\sin x\cdot\cos\frac{3\pi}{2}-\cos x\cdot\sin\frac{3\pi}{2}\right)^2}{\left(\cos x\cdot\cos\frac{3\pi}{2}+\sin x\cdot\sin\frac{3\pi}{2}\right)^2}=\nl\frac{(-\cos x+0)^2\cdot(\sin x-0)^2}{(\cos x+0)^2}+\frac{\sin^2 x(0+\cos x)^2}{(0-\sin x)^2}=\nl\frac{\cos^2 x\cdot\sin^2 x}{\cos^2 x}+\frac{\sin^2 x\cdot\cos^2 x}{\sin^2 x}=\sin^2 x+\cos^2 x=1$
Podmínky
$x\,\ne\,2\pi\nlx\,\ne\,\frac{3\pi}{2}$

svatý halogan · 02. 05. 2009 09:23

↑ Chrpa:↑ Chrpa:

Jen pro příště. Mohl jsi využít periodičnosti (periodity?) funkcí sinus a cosinus a místo $sin^2(x - 2 \pi)$ psát rovnou $sin^2 x$ . To samé u cosinu.

Jinak paráda.

Ještě teda vzorce pro převod sinu na cosinus (posunutím) šly použít na ty 3/2.

Matematické Fórum

#1 30. 04. 2009 16:58

goniometrická funkce (maturitní)

#2 30. 04. 2009 17:02 — Editoval Rumburak (04. 05. 2009 15:35)

Re: goniometrická funkce (maturitní)

#3 30. 04. 2009 17:06

Re: goniometrická funkce (maturitní)

#4 30. 04. 2009 17:52

Re: goniometrická funkce (maturitní)

#5 30. 04. 2009 18:10

Re: goniometrická funkce (maturitní)

#6 30. 04. 2009 18:21

Re: goniometrická funkce (maturitní)

#7 30. 04. 2009 18:22 — Editoval M@rvin (30. 04. 2009 18:22)

Re: goniometrická funkce (maturitní)

#8 30. 04. 2009 20:06

Re: goniometrická funkce (maturitní)

#9 30. 04. 2009 23:00

Re: goniometrická funkce (maturitní)

#10 01. 05. 2009 00:25

Re: goniometrická funkce (maturitní)

#11 01. 05. 2009 08:44

Re: goniometrická funkce (maturitní)

#12 01. 05. 2009 09:22

Re: goniometrická funkce (maturitní)

#13 01. 05. 2009 09:41

Re: goniometrická funkce (maturitní)

#14 01. 05. 2009 09:50

Re: goniometrická funkce (maturitní)

#15 01. 05. 2009 09:59 — Editoval marnes (01. 05. 2009 10:01)

Re: goniometrická funkce (maturitní)

#16 01. 05. 2009 10:22

Re: goniometrická funkce (maturitní)

#17 01. 05. 2009 10:23 — Editoval Chrpa (01. 05. 2009 11:02)

Re: goniometrická funkce (maturitní)

#18 01. 05. 2009 11:57 — Editoval Chrpa (01. 05. 2009 17:36)

Re: goniometrická funkce (maturitní)

#19 01. 05. 2009 12:45

Re: goniometrická funkce (maturitní)

#20 01. 05. 2009 18:08

Re: goniometrická funkce (maturitní)

#21 02. 05. 2009 09:19 — Editoval Chrpa (02. 05. 2009 09:25)

Re: goniometrická funkce (maturitní)

#22 02. 05. 2009 09:23

Re: goniometrická funkce (maturitní)

Zápatí