Matematické Fórum

Tomato · 02. 10. 2016 16:01

Dobrý den,
mám ještě jednu (2) úlohu se kterou si nevim rady...

Je dán trojúhelník ABC. Rozdělte tento trojúhelník na dvě části, které mají stejný obsah, přímkou p
a) rovnoběžnou se stranou AB,
b) kolmou ke straně AB

Vím, že se zde bude řešit podobnost trojúhelníků, ale nemůžu přijít na něco výhodného, co by podalo řešení.

Odpovědi by měli být:
a) $x = |pC|, x = \frac{v_{c}}{\sqrt{2}}$
b) $AC\ge BC$ , P je pata vc, X je pata kolmice p na AB, $|AP|=m$ , $|AX|=x$ , $x=\sqrt{m\cdot \frac{c}{2}}$

Nevím jak se k těmto výsledkům dostat... :/

Předem děkuji za pomoc.

vanok · 02. 10. 2016 16:17

Ahoj
Povedali by som zacni kreslit aby si videl ako najst riesenie.
A) skutocne treba vyuzit podobnost trojukolnikov. Ake ako?
Mas nazor na to.

B) mozes vyuzit ze vhodne vyska ( ta rovnobezna z p) deli trojuholnik na dve casti. Jedna z nich je vädcia ako polovica. Z neho treba odorat jednu cast aby ostala polovica. Ako?

Napis tvoje pokusy riesenia....A to co si nakreslil.

Al1 · 02. 10. 2016 16:18

↑ Tomato:

Zdravím,

ada) se již řešilo zde

Tomato · 02. 10. 2016 16:40

vanok napsal(a):
A) skutocne treba vyuzit podobnost trojukolnikov. Ake ako?
Mas nazor na to.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-10/18742_V%25C3%25BDst%25C5%2599i%25C5%25BEek78.JPG

Vím, že

$\triangle ABC \sim \triangle KLC$

$\frac{|AB|}{|KL|}=\frac{x}{v_{c}}=\frac{b}{|KC|}=\frac{a}{|LC|}$

Vanok napsal(a):
B) mozes vyuzit ze vhodne vyska ( ta rovnobezna z p) deli trojuholnik na dve casti. Jedna z nich je vädcia ako polovica. Z neho treba odorat jednu cast aby ostala polovica. Ako?

Asi trochu nerozumím... :/

Tomato · 02. 10. 2016 16:43 — Editoval Tomato (02. 10. 2016 16:55)

↑ Al1:
To je zajímavé... I když tedy nechápu, proč, když vydělím obsah velkého trojúhelníka malým trojúhelníkem, tak dostanu 2... (když obsahy jsou stejné)

EDIT: Ehm... už chápu :D

vanok · 02. 10. 2016 16:54

Tak to A)
Ako si povedali tie dva trojuholnika su podobne.
Obsah velkeho je AB x vc/2
A maleho ?
Vies ze velky je dva x vädci ako maly.
Predpokladaj, ze konstanta podobnosti je r . Vyuzi to.
Skus pokracovat.

Tomato · 02. 10. 2016 17:15

↑ vanok:

obsah malého: $\frac{|KL|\cdot x}{2}$

teď mi tedy dochází, že |KL| je poloviční než |AB|. (tedy doufám...)

To by znamenalo, že obsah malého je: $\frac{\frac{c}{2}\cdot x}{2}$

Jdu zatím správně?

vanok · 02. 10. 2016 17:35

↑ Tomato:,
|KL|=|AB|.r
x =vc.r
Dosad
A nezabudni ze maly trojuholnik je polovica velkeho.

Tomato · 02. 10. 2016 17:59

Tzn. že obsah malého trojúhelníka je: $\frac{c\cdot r\cdot v_{c}\cdot r}{2}=\frac{c\cdot v_{c}\cdot r^{2}}{2}$
Kdybych využil to, že velký trojúhelník je dvakrát větší dostal bych, že velký trojúhelník má obsah: $c\cdot v_{c}\cdot r^{2}$
(což je nesmysl)
Takže stále nechápu, jak využít, že malý trj. je polovina velkého...

vanok · 02. 10. 2016 18:14 — Editoval vanok (02. 10. 2016 18:18)

↑ Tomato:
Vsak je jeho polovica.
Vyjadri to a budes mat r.

Tomato · 02. 10. 2016 18:23

↑ vanok:
Dobře... takže abych to pochopil správně... mám vyjádřit r z které rovnice?

vanok · 02. 10. 2016 18:27

Schematicky povedane Velky/2=Maly

misaH · 02. 10. 2016 18:33 — Editoval misaH (02. 10. 2016 18:39)

$\frac {s\cdot v}{2}=2\cdot\frac {sr\cdot vr}{2}$

Odtiaľ $r^2=\frac 12$ a $r=\frac {1}{\sqrt 2}$

To je koeficient pre malý trojuholník (strany, výšky)

Snáď som to nepoplietla.

Všeobecne: Ak sú obsahy v nejakom pomere, tak dĺžky (strany, výšky) sú v pomere odmocnín.

Tomato · 02. 10. 2016 18:38

Už jsem to skoro poslal... Konečně se mi to povedlo...

vanok · 02. 10. 2016 18:43

Vyborne.
A prepac vidim ze si to ty ↑ misaH:.👍
Ano to presne som cakal od kolegu. Aspon si to skontroluje.

Co sa tyka B)
To je trochu tazsie.
Treba rozlisit dva pripady.
Päta vysky P je vo vnutri usecky AB
A druhy pripad P je mimo vnutra usecky AB.

Ak to chces skusit navrhni nejake riesenie a skusime ti pomoct.

vanok · 02. 10. 2016 18:44 — Editoval vanok (02. 10. 2016 18:45)

↑ Tomato:
Gratulujem. Vidis urobil si to sam. zasluzis si +.

Tomato · 02. 10. 2016 18:45

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-10/26654_2016-10-02_18.34.35.jpg

Za chvíli (až dovečeřím) se zeptám na úlohu b)

Tomato · 02. 10. 2016 19:20 — Editoval Tomato (02. 10. 2016 19:21)

Takže:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-10/28604_V%25C3%25BDst%25C5%2599i%25C5%25BEek79.JPG

$\triangle APC \sim \triangle AXD$

$\frac{b}{|AD|}=\frac{|AP|}{|AX|}$

(ze zadání - stačí udělat jedno řešení...)

vanok · 02. 10. 2016 19:53 — Editoval vanok (02. 10. 2016 21:36)

B) prva situacia.
Tu treba vypocitat plochu velkeho trojuholnika. (Potom predpokladat, ze $\alpha<\beta$
Odpocitat plochu BPC od velkeho trojuholnika co da plochu APC.
Potom vyjadrit plochu AXD ako polovicu velkeho trojuoholnika no Ako vhodnu cast APC.
Cize dost komplikovanejsie ako A)

Dnes Uz nemam cast tak skus s tym napredovat.

vanok · 03. 10. 2016 13:00 — Editoval vanok (03. 10. 2016 16:52)

Ahoj,
Na jedno mozne riesenie, v sulade s poslednym nakresom. V rieseni co som urobil som polozil |AX|=y; |AP|=h1; |PB|=h2 .
Potom je mozne vyuzit,
ze plocha trojuholnika ABC je 100%
A plocha APC je $\frac {100.h2}{h1+h2}%
A plocha AXD je 50%.
( taketo riesenie sa mi zda vhodne pre stredoskolakov)

Dokazes to dokoncit?

Rumburak

↑ Tomato:

Ahoj. Zdravím i kolegu ↑ vanok: a kolegyni ↑ misaH:.

Není to těžké - nutno vyjít ze vzorce $S = \frac{1}{2} c v_c$ pro obsah trojúhelníka o straně $c$ a výšce $v_c$ na tuto stranu.

ad a)

Trojúkelníky $\Delta ABC$ , $\Delta A_1B_1C$ (vzniklý z prvého jeho rozdělením přímkou $p = A_1B_1$ rovnoběžnou s $AB$ )
budou stejnolehlé - se středem stejnolehlosti v bodě $C$ . Nechť tedy $f$ je stejnolehlost, která zobrazí $\Delta ABC$ na
$\Delta A_1B_1C$ . Jaký musí být její koeficient, má-li druhý z nich mít poloviční obsah prvého ? Připomeňme, že ze stejnolehlosti
plyne podobnost.

Viz ↑ misaH:.

ad b)

Pro jednoduchost nejprve předpokládejme, že úhly při vrcholech $A, B$ jsou ostré. Spustíme-li výšku z $C$ na stranu $AB$ ,
bude její pata $P$ vnitřním bodem úsečky $AB$ . Ostatní dělící přímky $\Delta ABC$ kolmé k $AB$ budou tedy
rovnoběžné s přímkou $CP$ , takže můžeme využít (samozřejmě s rozmyslem) vysledky z kroku a).

vanok · 03. 10. 2016 14:40

Pozdravujem ↑ Rumburak:,
Co sa tyka a) kolegu sme doviedli k tomu, ze uspesne vyriesil danu otazku ( vdaka podobnosti trojuholnikov )
Pochopitelne riesenie vdaka rovnolahlosti ( homothétie ) je dalsia mozna cesta. Iste po dorieseni celeho problemu, kolega ↑ Tomato: sa tym bude zaoberat.
Teraz je pri rieseni casti B ). Ked dokonci jej riesenie, ktore som mu navrhol iste ho budu zaujimat aj ine varianty riesenia. Tak potom mu mozes ukazat podrobne jedno z nich. Vsak to riesenie, co robi je skoro skoncene.
Vsetko najlepsie do noveho academickeho roku.

Tomato · 03. 10. 2016 16:33

vanok napsal(a):
Ahoj,
Na jedno mozne riesenie, v sulade s poslednym nakresom. V rieseni co som urobil som polozil |AX|=y; |AP|=h1; |PB|=h2 .
Potom je mozne vyuzit,
ze plocha trojuholnika ABC je 100%
A plocha APC je $\frac {100.h2}{h1+2}\%$
A plocha AXD je 50%.
( taketo riesenie sa mi zda vhodne pre stredoskolakov)

Dokazes to dokoncit?

trochu nerozumím tomuto: $\frac {100.h2}{h1+2}\%$ (hlavně kvůli tomu, že se to dělí h1 + 2...
V této úloze budu taky používat koeficient (na podobnost)?

vanok · 03. 10. 2016 16:51 — Editoval vanok (03. 10. 2016 16:53)

↑ Tomato:,
Pozor je tam preklep ma To byt h1+h2

Opravil som to

Matematické Fórum

#1 02. 10. 2016 16:01

Konstrukce na základě výpočtu - rozdělení trojúhelníka na 2části S1=S2

#2 02. 10. 2016 16:17

Re: Konstrukce na základě výpočtu - rozdělení trojúhelníka na 2části S1=S2

#3 02. 10. 2016 16:18

Re: Konstrukce na základě výpočtu - rozdělení trojúhelníka na 2části S1=S2

#4 02. 10. 2016 16:37 Příspěvek uživatele Tomato byl skryt uživatelem Tomato. Důvod: Předčasné poslání

#5 02. 10. 2016 16:40

Re: Konstrukce na základě výpočtu - rozdělení trojúhelníka na 2části S1=S2

vanok napsal(a):

Vanok napsal(a):

#6 02. 10. 2016 16:43 — Editoval Tomato (02. 10. 2016 16:55)

Re: Konstrukce na základě výpočtu - rozdělení trojúhelníka na 2části S1=S2

#7 02. 10. 2016 16:54

Re: Konstrukce na základě výpočtu - rozdělení trojúhelníka na 2části S1=S2

#8 02. 10. 2016 17:15

Re: Konstrukce na základě výpočtu - rozdělení trojúhelníka na 2části S1=S2

#9 02. 10. 2016 17:35

Re: Konstrukce na základě výpočtu - rozdělení trojúhelníka na 2části S1=S2

#10 02. 10. 2016 17:59

Re: Konstrukce na základě výpočtu - rozdělení trojúhelníka na 2části S1=S2

#11 02. 10. 2016 18:14 — Editoval vanok (02. 10. 2016 18:18)

Re: Konstrukce na základě výpočtu - rozdělení trojúhelníka na 2části S1=S2

#12 02. 10. 2016 18:23

Re: Konstrukce na základě výpočtu - rozdělení trojúhelníka na 2části S1=S2

#13 02. 10. 2016 18:27

Re: Konstrukce na základě výpočtu - rozdělení trojúhelníka na 2části S1=S2

#14 02. 10. 2016 18:33 — Editoval misaH (02. 10. 2016 18:39)

Re: Konstrukce na základě výpočtu - rozdělení trojúhelníka na 2části S1=S2

#15 02. 10. 2016 18:38

Re: Konstrukce na základě výpočtu - rozdělení trojúhelníka na 2části S1=S2

#16 02. 10. 2016 18:43

Re: Konstrukce na základě výpočtu - rozdělení trojúhelníka na 2části S1=S2

#17 02. 10. 2016 18:44 — Editoval vanok (02. 10. 2016 18:45)

Re: Konstrukce na základě výpočtu - rozdělení trojúhelníka na 2části S1=S2

#18 02. 10. 2016 18:45

Re: Konstrukce na základě výpočtu - rozdělení trojúhelníka na 2části S1=S2

#19 02. 10. 2016 19:20 — Editoval Tomato (02. 10. 2016 19:21)

Re: Konstrukce na základě výpočtu - rozdělení trojúhelníka na 2části S1=S2

#20 02. 10. 2016 19:53 — Editoval vanok (02. 10. 2016 21:36)

Re: Konstrukce na základě výpočtu - rozdělení trojúhelníka na 2části S1=S2

#21 03. 10. 2016 13:00 — Editoval vanok (03. 10. 2016 16:52)

Re: Konstrukce na základě výpočtu - rozdělení trojúhelníka na 2části S1=S2

#22 03. 10. 2016 14:08 — Editoval Rumburak (03. 10. 2016 14:47)

Re: Konstrukce na základě výpočtu - rozdělení trojúhelníka na 2části S1=S2

#23 03. 10. 2016 14:40

Re: Konstrukce na základě výpočtu - rozdělení trojúhelníka na 2části S1=S2

#24 03. 10. 2016 16:33

Re: Konstrukce na základě výpočtu - rozdělení trojúhelníka na 2části S1=S2

vanok napsal(a):

#25 03. 10. 2016 16:51 — Editoval vanok (03. 10. 2016 16:53)

Re: Konstrukce na základě výpočtu - rozdělení trojúhelníka na 2části S1=S2

Zápatí