Matematické Fórum

LamaGanja

Zdravím, mám úlohu vyřešit průběh funkce, mám napsané kroky, kterými se musím řídit, ale zasekl jsem se už na prvím, byl bych rád, kdyby mi někdo v případě zaseknutí se pomohl,třeba jako teď s určením D(f), když $f(x)=sinx-ln(sinx)$ , poté se pokusím dále pokračovat, dokud nebudu mít zase problém. Děkuji

jelena · 01. 05. 2009 13:21

↑ LamaGanja:

Zdravim,

Pro určení definičního oboru je potřeba se podívat na vlastnosti logaritmické funkce a funkce sinus a pak se ozvat, k jakému závěru jsi přišel.

Kolega halogan je online, snad dohledne na zdarný průběh, děkuji a zdravím :-)

LamaGanja

↑ jelena:

Takže když logaritmus má definiční obor $(0,+\infty)$ a sinus R, tak $D(f)=R^+\backslash\{0\}$ ?

halogan · 01. 05. 2009 14:02

↑ LamaGanja:

Ne. Logaritmus má sice definiční obor R+, ale u sinu nás zajímá obor hodnot, protože hodnota sinu pro dané x se předá jako argument logaritmu. Sinus má obor hodnot <-1; 1> a nás tedy zajímá, kdy sinus bude (0; 1>. Protože jen takové x, pro které bude sinus kladný, můžeme použít.

Zdravím ↑ jelena:. Čekal jsem na odpovědi ostatních, protože si šetřím příspěvky... blížím se k tisícovce :)

LamaGanja · 01. 05. 2009 14:10

↑ halogan:

Takže to bude tak, jak jsem to teď upravil? R+\{0} ?

halogan · 01. 05. 2009 14:17

↑ LamaGanja:
Ne. Pleteš si pojmy trochu.

1) Do R+ nula stejně nepatří.

2) Podívej se na graf funkce sinus. Když bude x = 3/2 pí, tak sinus bude -1. A -1 přece nemůže být argument logaritmu. Logaritmus -1 (v oboru reálných čísel) neexistuje. Proto si ještě jednou pečlivě přečti mou předchozí odpověď a zkus to z toho grafu nějak vykoumat.

http://cs.wikipedia.org/wiki/Soubor:Sin.svg

LamaGanja

↑ halogan:

Takže sin(x) musí být vždy kladné a to je v intervalu $(0,\pi) + 2k\pi$ , ale jak to zapsat jako definiční obor?

jelena · 01. 05. 2009 14:54 — Editoval jelena (01. 05. 2009 15:00)

Pro kolegu halogana - pokud to nějak zasahuje do denních plánu (třeba do opakování otázek ZSV), tak to nějak naznač. Děkuji - umíte to moc dobře, je zbytečné, abych do toho vrtala.

Zřejmě kolega obedvá, tak zaskočím:

↑ LamaGanja:

já bych to napsala takto:

$x\in \bigcup_{k \in \mathbb Z}(0+2k\pi,\pi + 2k\pi)$

nebo tak:

$x\in \bigcup_{k \in \mathbb Z}\left(2k\pi,\pi(1 + 2k) \right)$

-----
Odpusť, Mariane, odpusť, Pavle.

Kolegyně má v hlavě vygumovane - česky neumí :-(

halogan

My to psali jako

$D_f = \big (0 + 2k \pi; \pi + 2k \pi \big ) \qquad \qquad k \in Z$

A očividně si to pamatuju blbě :) Kolegyně doplnila to velké sjednocení. Tak je to správně.

↑ jelena:: vypracovávám si otázky do češtiny. Z dnešního přídělu 3 otázek mám již 2 hotové, takže si dávám oddych.

LamaGanja · 01. 05. 2009 14:59

↑ jelena:

Ufto vypadá dost složitě, můžu to napsat jen takto? $D(f)=(0,\pi)+2k\pi , k \in Z$

LamaGanja · 01. 05. 2009 15:00

↑ halogan:

Aha no mi to tak píšem, tak snad to nebude vadit :D Takže tohle je D(f) a další fáze je spojitost funkce, takže se na to vrhnu, ale musím odjet, takže až večer zatím díky za výpomoc, pomalu to začínám chápat

jelena · 01. 05. 2009 15:07

↑ halogan:

skupina mých maturujících kreativců - tento rok jistím ZSV, češtinu, chemii (matematiku pouze diferenciální a integrální počet) mi dnes dala volno. Ale v útery jsme opakovali 5 hodin 10 otázek do ZSV. Vypracováno máme všechno.

Dnes ovsem musím jeste dopracovat 18 statistických tabulek - tak na vás vidím, ale psát se mi moc nechce. Navíc nelibí se mí, když se sekaji jen hotové výsledky - snad to náš kolega ↑ LamaGanja: ocení.

Děkuji za zásah a kolegu zanechávam v dobrých rukou.

LamaGanja · 01. 05. 2009 18:17

Tak jsem nějakej vymazanej dneska, nemohl bych dostat nápovědu, jak postupovat k zjíštění spojitosti funkce? Když vím podle Df, že se jedná o interval (0,PI)+2kPI, tak logicky by měla být spojitá v každém daném intervalu, protože se jedná o funkci sinus ne? Ale nevím, čeho tím docílím

jelena · 01. 05. 2009 18:49

↑ LamaGanja:

zadaná funkce $f(x)=\sin x-\ln (\sin x)$ je spojita na definičním oboru, který jsme nasli v předchozích krocích (nemontuj sem funkci sin jako takovou, řešime celé zadání funkce).

Mimo definiční obor spojita není (ona tam vůbec není), ale je potřeba vyšetřit chování funkce v krajních bodech def. oboru. Tedy limitu funkce, když se bliží k 0 zprava (0+) a k pi zleva (pi -)

Budeš vědet, jak se chová funkce na okraji definičního oboru.

OK?

LamaGanja

↑ jelena:

Takže mám $\lim_{x\rightarrow0^+}sin(x)-ln(sin(x))=sin(0)-ln(sin(0))$ , ale teď si nějak nejsem jistý u toho logaritmu, logaritmus 0 přece nemůžu provést a nějak nemůžu přijít na to, když mám logaritmus 0+.

Tak jsem už na to možná přišel, když mám nulu z prava, tak by měla být limita sin(0)-ln(sin(0))=0-(-nekon.)=+ nekonečno?

jelena · 02. 05. 2009 10:26

↑ LamaGanja:

Dělaš nám samou radost, kolego, jen pokračuj a kolega (po transformaci) tedy "svaty halogan" snad bude take nablizku. Zdravím :-)

LamaGanja

Takže pro pí zleva mám taky nekonečno, tak předpokládám, že když její chování jde zleva i z prava k nekonečnu měla by být funkce asi nějaká parabola ne? Takže se vrhám na další krok a to je sudost,lichost,periodičnost

Takže není ani sudá ani lichá, ale měla bybýt periodická, jak můžu vidět už v definičním oboru?

LamaGanja · 02. 05. 2009 11:33

Když jsem zjístil, že $f'(x)=-\frac{cos(x)}{sin(x)}+cos(x)$ , tak se mi upraví teď D(f')?

jelena · 02. 05. 2009 11:44 — Editoval jelena (02. 05. 2009 11:45)

v předchozích krocich vše OK, derivaci jsem upravila ke společnému jmenovateli

$f'(x)=\frac{-\cos(x)+\cos(x)\sin(x)}{\sin(x)}=\frac{\cos(x)(-1+\sin(x))}{\sin(x)}$

sin x nesmí být 0, a to je stejné jako D(f) samotné funkce.

OK?

Editace: Kolega je online, už dohledne, děkuji

LamaGanja · 02. 05. 2009 11:54

Takže dalším krokem jsou intervaly na nichž je f' kladná či záporná, akorát mám tu v sešit ze cvičení napsané abc, ale nějak si z toho nemůžu vyvodit co vlastně řeším :(

svatý halogan · 02. 05. 2009 12:15

Jednodušší než hledat záporné a kladné "části" první derivace (což určuje, zda funkce na dané části [intervalu] klesá, či roste), bude najít extrémy. Najdi si, kdy první derivace bude nulová, spočítej hodnoty v jejím okolí a už budeš mít jasno (min/max/inflexe)

Pak ještě druhou derivaci pro možné inflexe.

LamaGanja · 02. 05. 2009 21:16

↑ svatý halogan:

Tak mi vyšlo, že $x=\frac{\pi}{2}+2k\pi$ , takže to je pro mě lokální, ale jak poznám jestli maximum nebo minimum, až podle dosažení hodnot nebo se to dá ověřit i jinak?

svatý halogan · 02. 05. 2009 21:19

↑ LamaGanja:
Jestli to je jediný stacionární bod (podezření na extrém či inflexi) a víš, jak se funkce chová na kraji definičního oboru (tebou vypočítané limity), tak je pak jasné, zda to je minimum, ti maximum.

LamaGanja · 02. 05. 2009 21:26

↑ svatý halogan:

Takže v případě, že chování mijde k nekonečnu na obou stranách, stává se pi/2 mým lokálním minimem a funkce je tedy klesající v intervalu (0,PI/2)+2kPI, poté je lok min. v PI/2 a dále je rostoucí (PI/2,PI)+2kPI?

svatý halogan · 02. 05. 2009 21:40

↑ LamaGanja:

Přesně tak. Ještě bys mohl spočítat druhou derivaci, abys objevil případné inflexe. Je jasné, že kolem extrému a u asymptot bude funkce konvexní, ale může přejít někde na konkávu.

Matematické Fórum

#1 01. 05. 2009 12:32 — Editoval LamaGanja (01. 05. 2009 12:33)

Vyšetřete průběh funkce

#2 01. 05. 2009 13:21

Re: Vyšetřete průběh funkce

#3 01. 05. 2009 13:59 — Editoval LamaGanja (01. 05. 2009 14:03)

Re: Vyšetřete průběh funkce

#4 01. 05. 2009 14:02

Re: Vyšetřete průběh funkce

#5 01. 05. 2009 14:10

Re: Vyšetřete průběh funkce

#6 01. 05. 2009 14:17

Re: Vyšetřete průběh funkce

#7 01. 05. 2009 14:24 — Editoval LamaGanja (01. 05. 2009 14:24)

Re: Vyšetřete průběh funkce

#8 01. 05. 2009 14:54 — Editoval jelena (01. 05. 2009 15:00)

Re: Vyšetřete průběh funkce

#9 01. 05. 2009 14:57 — Editoval halogan (01. 05. 2009 14:59)

Re: Vyšetřete průběh funkce

#10 01. 05. 2009 14:59

Re: Vyšetřete průběh funkce

#11 01. 05. 2009 15:00

Re: Vyšetřete průběh funkce

#12 01. 05. 2009 15:07

Re: Vyšetřete průběh funkce

#13 01. 05. 2009 18:17

Re: Vyšetřete průběh funkce

#14 01. 05. 2009 18:49

Re: Vyšetřete průběh funkce

#15 02. 05. 2009 10:17 — Editoval LamaGanja (02. 05. 2009 10:22)

Re: Vyšetřete průběh funkce

#16 02. 05. 2009 10:26

Re: Vyšetřete průběh funkce

#17 02. 05. 2009 10:38 — Editoval LamaGanja (02. 05. 2009 10:46)

Re: Vyšetřete průběh funkce

#18 02. 05. 2009 11:33

Re: Vyšetřete průběh funkce

#19 02. 05. 2009 11:44 — Editoval jelena (02. 05. 2009 11:45)

Re: Vyšetřete průběh funkce

#20 02. 05. 2009 11:54

Re: Vyšetřete průběh funkce

#21 02. 05. 2009 12:15

Re: Vyšetřete průběh funkce

#22 02. 05. 2009 21:16

Re: Vyšetřete průběh funkce

#23 02. 05. 2009 21:19

Re: Vyšetřete průběh funkce

#24 02. 05. 2009 21:26

Re: Vyšetřete průběh funkce

#25 02. 05. 2009 21:40

Re: Vyšetřete průběh funkce

Zápatí