Matematické Fórum

Berger · 20. 09. 2016 11:14 — Editoval Berger (20. 09. 2016 11:30)

Mějme pole bodů o kterém víme, že jsou od sebe vzdáleny konstantní čas dt (například 100ns) a leží na sinusovce. O sinusovce víme jen její frekvenci, tzn. že její průchody 0 od sebe leží čas tp (například 5000 ns). Kde dané body na sínusovce leží nevíme .
Co chceme zjistit?
1. Amplitudu dané sínusovky, tedy y souřadnici nejvýše/nejníže položeného bodu
2. Čas průchodu 0 , tedy x souřadnici bodu, který má y=0

A to celé přesněji než například vzít kladný a záporný bod, který leží nejblíže 0, proložit jimi přímku a dopočítat bod v kterém ona protne osu x.

medvidek · 20. 09. 2016 11:47

↑ Berger:
Tak ty body neprokládej přímkou, ale sínusovkou.

medvidek · 20. 09. 2016 13:23

↑ Berger:
Známe-li periodu resp. frekvenci, na dopočet sínusovky by mělo stačit vzít libovolné dva body.
Předpokládáme, že tam není offset v ose y?

Berger · 09. 10. 2016 13:23

Vrátím se k tématu.
Jak chcete prokládat sin když neznáte parametry funkce ?
Offset se dá korigovat .
Zatím to vidím takto:

Najdu dva body ležící nejblíže osy x, tak, aby jeden ležel nad a druhý pod osou
Pomocí rovnice přímky dopočítám souřadnici x bodu g který leží na přímce procházející body x1 a x2 a má souřadnic y=0.
Ten, ale není totožný s souřadnicí bodu ležící na sinusovce.,
Jediné na co jsme přišel, je možnost dopočítat chybu mezi těmito dvěma body.
Pokud se nepletu tak , by mělo patit

Error = | (sin(g) / sin (dt-g) - (x1/x2) |

Co na to říkáte?

Nejde to nějak elegantněji?

mák · 09. 10. 2016 18:34

Zdravím,

rovnice bude:
$y=A\,\sin \left(x+P\right)$

Přičemž A je hledaná amplituda a P je posun na souřadnici x, kde sinusovka protíná nulu.
Pokud budeš tedy znát dva body o souřadnicích [x1,y1] a [x2,y2] dosadíš a vyřešíš dvě rovnice.

medvidek

↑ mák:
Díky

↑ Berger:
Jen doplním, že místo vyjádření harmonických kmitů ve tvaru
$y=A\,\sin \left(\omega x+P\right)$
je zde výhodné použít ekvivalentní zápis
$y=A_1 \,\sin \left(\omega x\right) + A_2\,\cos \left(\omega x\right)$

Frekvenci (jak píšeš na začátku) známe, tudíž po dosazení dvou bodů (jak radí Mák) o souřadnicích [x1,y1] a [x2,y2] dostaneš dvě lineární rovnice, z nichž vypočteš $A_1, A_2$ .

Tvoje vyjádření chyby asi nebude správné.

POZNÁMKA:
Téma je nesprávně umístěno v sekci VŠ pokročilá matematika. Pokud v něm budeme pokračovat, přesunu ho do sekce Ostatní ... dotazy pro praxi.

Berger · 10. 10. 2016 19:26

Možná jsem natvrdlý, což je dnes docela možné, protože dnes asi nemám své dny a neměl bych se pouštět do žádných větších akci ,
ale tohle snad platí u volných harmonických kmitů jen pokud známe počáteční fázi kmitů. Jinak řečeno máme souřadnou soustavu položenou v nějakém z bodu kde je u sinu y=0.
To my ale nevíme, jinak řečeno známe souřadnice y obou bodu ,ale souřadnice x neznáme absolutně, ale jen relativně. Pokud tedy souřadná soustava leží v bodě x=0 y=0 tak mi o prvním bodě víme, že leží v x=t a druhý v x=t+10, aLE hodnotu t neznáme.

mák · 10. 10. 2016 19:38

Zdravím,
↑ medvidek:
tvůj zápis dává jednodušší rovnice, proto je lepší.
↑ Berger:
Souřadnice x nepotřebuješ znát absolutně, stačí relativně. Prostě některý označíš jako počátek.

Berger · 11. 10. 2016 00:25

Ono není nad to to zkusit.
x1=1/10E6*10
y1=1,339566987
x2=x1+1/10E6
y2=1,469463131

Toto jsou dva body s absolutními souřadnicemi, které leží na ideální sinusovce o f=100kHz o amplitudě +- 2,5
Pro výše uvedené absolutní souřadnice můžeme řešení zde probíraných rovnic získat A1=2,4951 je tam sice relativně velká chyba, ale dejme tomu že vznikla nějakým zaokrouhlováním.
Protože absolutní souřadnice na ose x neznáme provedeme stejný výpočet po
x1=0, ostatní bude stejné.
Mě vyšlo A1=2,11
Což celkem odpovídá mému předpokladu, viz předešlý příspěvek,

Na vysvětlenou dva body jsou matematicky generované jako 10 a 11 vzorek na sinusovce s počátkem 0,0 , frekvence sinusovky 100kHz oversampling je 100 tj. 100 vzorků/perioda.
proto je souřadnice x1 1/10MHz*10vroek a x2 o 1/10MHz více.
Generovno v matlabu, stejně jaké následný výpočet. zd eprobianych rovnic.
Jelikož jsme to dělla na nějakém pracovním listu, kde jsme už proměnné A měl použité tak miso A1 a A2 mam v a u, ale to na funkci rostlinaře nemá vliv.

S=solve( [v*sin(2*pi*f*x1)+u*cos(2*pi*f*x1)==y1,v*sin(2*pi*f*x2)+u*cos(2*pi*f*x2)==y2], v,u)

medvidek · 11. 10. 2016 02:37

↑ Berger:
To není zaokrouhlovací chyba!

Jak jsem napsal v příspěvku #6, ty dva zápisy jsou ekvivalentní (oba v sobě zahrnují amplitudu i počáteční fázový posuv, akorát ve druhém zápisu to není explicitní). Přechod od parametrů $A, P$ k $A_1, A_2$ je jednoduchý:
$A_1=A \cos P$ ,
$A_2=A \sin P$ .
Obráceně, přechod od parametrů $A_1, A_2$ k $A, P$ bude
$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2}$ ,
$P= \mathrm{arctg}$\frac{A_2}{A_1}$$ .

Použil jsem tebou uvedené dva body
x1=1/10E6*10
y1=1,339566987
x2=x1+1/10E6
y2=1,469463131
a vyšlo mi následující:
$A_1=2,495066832$ ,
$A_2=-0,1569763075$ .

Po převodu na amplitudu A a fázi P to dává:
$A=2,500000012$ ,
$P=-0,0628318563$ .

Otázka zůstává, zda jsi úmyslně použil na simulaci funkci, která neprochází bodem [0,0]. Jak je vidět, počáteční fázový posuv P odpovídá posunutí na ose x o jeden vzorek:
$P=-0,0628318563 \doteq -\frac{2\pi}{100}$