Matematické Fórum

ViliX · 23. 10. 2016 13:32 — Editoval ViliX (23. 10. 2016 13:42)

Dokažte, že pro $n \ge 0$ platí $F_n \le (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1}$ , kde $F_n$ je n-tý člen fibonacciho posloupnosti definované: $F_0 = 0, F_1 = 1, F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$

Začal jsem to řešit indukcí. Pro $n_0$ nerovnost samozřejmě platí. Potíž mám s indukčním krokem.
$F_{n+1} \le (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n$
$F_{n-1} + F_{n} \le (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n$
Tady mě napadlo, že jelikož $F_n > F_{n-1}$ , tak se nerovnost nerozbije když to nahradím.
$2F_{n-1} \le (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n$
Zde jsem ale ve slepé uličce.

Taky jsem zkoušel toto:
$F_{n+2} \le (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1}$
$F_{n+1} + F_{n} \le (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1}$
$F_{n+1} \le (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1}-(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}$
$F_{n+1} \le (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}(\frac{1+\sqrt{5}}{2}-1)$
Ale to asi taky nikam nevede.

Moc děkuji za rady.

holyduke · 23. 10. 2016 14:46

↑ ViliX:
Ahoj,
Dokazuješ $F_n \le $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$^{n-1} \Rightarrow F_{n+1} \le $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$^{n}$ kde $F_{n+1}=F_{ n}+F_{n-1}$

$F_{n+1}=F_{ n}+F_{n-1}\le $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$^{n-1} + $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$^{n-2} = $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$^{n}\cdot $ \frac{2}{1+\sqrt{5}} + \frac{4}{(1+\sqrt{5})^{2}}$=...$

ViliX · 23. 10. 2016 14:55

↑ holyduke:

Tady jsem se právě taky nacházel.
Má se dokázat, že $F_{n+1} \le (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n$ , ale ve vztahu je $F_{n+1} \le (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n \cdot (\frac{2}{1+\sqrt{5}}+\frac{4}{(1+\sqrt{5})^2})$
Omlouvám se pokud přehlížím něco zjevného.

holyduke · 23. 10. 2016 15:04

↑ ViliX:
Stačí upravit ten číselnej výraz za násobením a máš to

ViliX · 23. 10. 2016 15:08

↑ holyduke:

Nedošlo mi že to může být jednička. Moc děkuji.

Matematické Fórum

#1 23. 10. 2016 13:32 — Editoval ViliX (23. 10. 2016 13:42)

Důkaz nerovnosti s fibonacciho posloupností

#2 23. 10. 2016 14:46

Re: Důkaz nerovnosti s fibonacciho posloupností

#3 23. 10. 2016 14:55

Re: Důkaz nerovnosti s fibonacciho posloupností

#4 23. 10. 2016 15:04

Re: Důkaz nerovnosti s fibonacciho posloupností

#5 23. 10. 2016 15:08

Re: Důkaz nerovnosti s fibonacciho posloupností

Zápatí