Matematické Fórum

vanok · 26. 10. 2016 18:46

Casto sa stretneme z cvicenim ako:
Dokazte, ze $\sqrt 2+ \sqrt 7$ je irationalne cislo.
Iste poznate viacero dokazov.
Mozte nam ich tu pripomenut.
( jeden z nich sa mi celkom paci ... ak sa tu neobjavi tak vam ho tu pochopitelne dam)

vanok · 27. 10. 2016 18:06

Tak dobre.
Dam tu princip toho sympatickeho dokazu ( vieme,ze $\sqrt 2$ ako aj $\sqrt 7$ su irationalne)
Mame
$(\sqrt 7+ \sqrt 2)(\sqrt 7-\sqrt2)=7-2=5$
Sucin dvoch cisiel v zatvorke je racionale cislo, tak cisla v zatvorkach su zaroven obe racionalne alebo obe iracionalne.
Predpokladajme ze obe zatvorky su racionalne, tak polovica ich suctu ako aj polovica ich rozdielu su potom rationalne cisla.
Inac povedane $\sqrt 2$ a tiez $\sqrt 7$ su racionalne. Ale to je spor. Cize nas predpokladu nie je pravdivy.
Co znamena ze $(\sqrt 7+ \sqrt 2$ a tiez $\sqrt 7-\sqrt2$ su oba iracionalne cisla.

Mne sa zda, ze i ked ho casto nevidime takyto dokaz ma vyhodu, ze sa da pouzit aj pre deti na strednej skole.

Paci sa vam?

Pozname vela dokazov na ukazanie tohto vysledku. Poznate aj iny taky sympaticky?

Andrejka3 · 28. 10. 2016 21:33

↑ vanok:
Jo, pěkný je. Nenapadá mě jiný. Snad nějak z definice? Hledání minimálního polynomu?

Pavel · 28. 10. 2016 22:34

↑ Andrejka3:

Nechť $\sqrt 2+ \sqrt 7$ je racionální. Pak nutně $\frac{(\sqrt 2+ \sqrt 7)^2-9}2$ je racionální. Nicméně $\frac{(\sqrt 2+ \sqrt 7)^2-9}2=\sqrt{14}$ .

vanok · 29. 10. 2016 09:44 — Editoval vanok (29. 10. 2016 09:57)

Pozdravujem,
Varianta od kolegu ↑ Pavel: je asi ta co kazdeho napadne ako prva.
A tato je tiez dost zriedkava, lahko overime, ze $\sqrt 2+ \sqrt 7$ je koren $x^4- 18x+ 25$ potom vysetrime ( klasicky ) jeho racionalne korene a $\sqrt 2+ \sqrt 7$ nie je medzi nimi.

( otazka: viete nast take celociselne polynomy?)
Tento dokaz, na viac ukaze, ze nase cislo je algebraicke.

vanok · 29. 10. 2016 21:59 — Editoval vanok (29. 10. 2016 22:01)

Odpoved na otazku ↑ vanok:,
Oznacme nase cislo x,
Potom vyuzime co napisal ↑ Pavel:,
$\frac{x^2-9}2=\sqrt{14}$
A to da po umocneni a uprave hladany polynom.

check_drummer · 01. 11. 2016 17:39

↑ Pavel:
Ahoj, pěkné řešení, ale zvídavý student by se zeptal - proč volit právě výraz $\frac{(\sqrt 2+ \sqrt 7)^2-9}2$ ? Podobné řešení s méně otazníky by mohlo být sporem - nechť $\sqrt 2+ \sqrt 7=p/q$ , tak umocněno na druhou a úpravou získáme $\sqrt{14}=\frac{p^2/q^2-9}{2}$ - a tedy jsme odvodili, že $\sqrt{14}$ je racionální, což je spor.

vanok · 01. 11. 2016 17:48

Ahoj ↑ check_drummer:,
Ano to je tiez velmi prirodzena moznost.

Tiez je velmi zaujimave porovnat rozdielne riesenia. A tiez vidiet na akej urovni su mozne?

Pri rieseniach ziak, student alebo aj vyucujuci moze dat rozne otazky. Ako napr. Sucet dvoch iracionalnych moze byt racionalny.

Matematické Fórum

#1 26. 10. 2016 18:46

Irationalne cislo

#2 27. 10. 2016 18:06

Re: Irationalne cislo

#3 28. 10. 2016 21:33

Re: Irationalne cislo

#4 28. 10. 2016 22:34

Re: Irationalne cislo

#5 29. 10. 2016 09:44 — Editoval vanok (29. 10. 2016 09:57)

Re: Irationalne cislo

#6 29. 10. 2016 21:59 — Editoval vanok (29. 10. 2016 22:01)

Re: Irationalne cislo

#7 01. 11. 2016 17:39

Re: Irationalne cislo

#8 01. 11. 2016 17:48

Re: Irationalne cislo

Zápatí