Matematické Fórum

vanok · 01. 11. 2016 14:33 — Editoval vanok (01. 11. 2016 14:36)

Davat ulohy na ktorych riesenie by bolo treba cakat storocia, to nie je asi vitane na fore.
Ale toto cvicenie, vhodne pre studenta tak tretieho rocnika VS, (alebo aj kandidata na IMO) urcite niekoho zaujme.

Nech je n prirodzene neparne cislo take, ze $n\ge 3$
Dokazte, ze dva nasledujuce tvrdenia su ekvivalentne
(i) $n$ a $n + 2$ su prvocisla.
(ii) $(n-1)!$ nie je delitelne ani cislom $n$ , ani cislom $n + 2$ .

byk7 · 01. 11. 2016 23:56 — Editoval byk7 (02. 11. 2016 00:12)

Podle Wilsonovy věty platí $(n-1)!\equiv-1\pmod n$ právě, když n je prvočíslo. Dále se lehce zdůvodní, že pro složené $n>4$ je $(n-1)!\equiv0\pmod n$ .

Tím pádem je vyřešená implikace (i) => (ii), a z opačné implikace máme "n nedělí (n-1)!, pak n je prvočíslo". Druhou část dokážeme obměnou. Řekněme, že je n+2 složené, pak n+2=ab, kde $2\le a\le b<n+2$ , ale můžeme říct víc, je-li $2\le a$ , pak $b=(n+2)/a\le(n+2)/2=n/2+1<n-1$ , tj. n+2 dělí (n-1)!.

A jsme hotovi.

vanok · 02. 11. 2016 00:15

Ahoj ↑ byk7:,
Veta sme hotovi je trocha skratka.
Keby si mohol napisat detaily dokazov... tvoji kolegovia by boli ozaj radi.

Matematické Fórum

#1 01. 11. 2016 14:33 — Editoval vanok (01. 11. 2016 14:36)

Prvocisla

#2 01. 11. 2016 23:56 — Editoval byk7 (02. 11. 2016 00:12)

Re: Prvocisla

#3 02. 11. 2016 00:15

Re: Prvocisla

Zápatí