Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 30. 10. 2014 07:26

Argcotgh x
Příspěvky: 230
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Dimenze prostorů v závislosti na parametru

Ahoj, mohli byste mi, prosím, zkontrolovat správnost řešení této úlohy?

Určete dimenzi prostorů V, W, V ∩ W, V v W, které jsou podprostory R5,

v závislosti na λ, náležející R, kde

V = <(3, -1, -2, 2, 1), (1, 4, 0, 1, -1), (λ, 6, -4, 6, 0)>
W = <(1, -3, 2, -3, 0), (0, 0, 0, 1, 1)>

Dimenze prostoru V:

(3, -1, -2, 2, 1)
(1, 4, 0, 1, - 1)
(λ, 6, -4, 6,  0)

Provedeme sloupcovou úpravu – vyměníme 1. a poslední sloupec

(1, -1, -2, 2,  3)
(-1, 4, 0, 1, - 1)
(0, 6, -4, 6,   λ)

1.řádek přičteme k 2.řádku

(1, -1, -2, 2,  3)
(0, 3, -2,  3, -1)
(0, 6, -4, 6,   λ)

2.řádek vynásobíme 2x

(1, -1, -2, 2,  3)
(0, 6, -4,  6, -2)
(0, 6, -4, 6,   λ)

Pokud je λ = (-2), je 2.a 3.řádek lineárně závislý, h(V) = 2, dim V = 2.

Pokud je λ ≠ (-2), je 2. a 3.řádek lineárně nezávislý, h(V) = 3, dim V = 3.

Dimenze prostoru W:

(1, -3, 2, -3, 0)
(0,  0, 0,   1, 1)

Zde není co upravovat,

Dim W = 2.

Dimenze spojení V v W:

(1, -1, -2, 2,  3)
(0, 6, -4,  6, -2)
(0, 6, -4, 6,   λ)
(1, -3, 2, -3, 0)
(0,  0, 0,   1, 1)

Prohodíme 3. a 5. řádek, abychom dostali λ co nejníže a vpravo

(1, -1, -2, 2,  3)
(0, 6, -4,  6, -2)
(1, -3, 2, -3, 0)
(0,  0, 0,   1, 1)
(0, 6, -4, 6,   λ)

(-1) násobek 1.řádku přičteme ke 3.řádku

(1, -1, -2, 2,  3)
(0, 6, -4,  6, -2)
(0, -2, 4, -5, -3)
(0,  0, 0,   1, 1)
(0, 6, -4, 6,   λ)

2.řádek přičteme k trojnásobku 3.řádku

(1, -1, -2, 2,  3)
(0, 6, -4,  6, -2)
(0, -6, 12, -15, -9)
(0,  0, 0,   1, 1)
(0, 6, -4, 6,   λ)

(1, -1, -2, 2,  3)
(0, 6, -4,  6, -2)
(0, 0,  8, -9, -11)
(0, 0, 0,   1, 1)
(0, 6, -4,  6,   λ)

(-1) násobek 2.řádku přičteme k 5.řádku:

(1, -1, -2,  2,  3)
(0, 6, -4,   6, -2)
(0, 0,  8, -9, -11)
(0, 0, 0,    1,  1)
(0, 0, 0,  0,  λ+2)

Pokud λ+2 = 0, tj. λ = (-2), je dimenze spojení V v W: 4
Pokud λ ≠ (-2), je dimenze spojení V v W: 5

Výpočet průniku V ∩ W :

Využijeme vztahu

dim V ∩ W = dim V + dim W – dim V v W

pro λ = (-2), je dimenze průniku

dim V ∩ W = 2 + 2 – 4 = 0.

pro λ ≠ (-2), je dimenze průniku

dim V ∩ W = 3 + 2 – 5 = 0.

Offline

 

#2 30. 10. 2014 14:33

OndrasV
Místo: Praha
Příspěvky: 513
Škola: VŠE (1997-2004), FEL (2014-??)
Pozice: mudrlant
Reputace:   31 
 

Re: Dimenze prostorů v závislosti na parametru

↑ Argcotgh x: Ano, to vypadá správně.

Offline

 

#3 01. 11. 2014 16:21

Argcotgh x
Příspěvky: 230
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Dimenze prostorů v závislosti na parametru

Původní příspěvek je správný až po "dim W = 2",

dále už se vyskytla chyba a správné řešení pokračuje takto:

Dimenze spojení V v W:

Protože jsme u prostoru V v matici prohodili 1. a poslední sloupec, musíme tyto sloupce prohodit i u prostoru W:

(1, -1, -2, 2,  3)
(0, 6, -4,  6, -2)
(0, 6, -4, 6,   λ)
(0, -3, 2, -3,  1)
(1,  0, 0,   1, 0)

Prohodíme 3. a 5.řádek, abychom dostali λ co nejníže a vpravo:

(1, -1, -2,  2,  3)
(0,  6, -4,  6, -2)
(1,  0,  0,   1,  0)
(0, -3,  2, -3,  1)
(0, 6, -4,   6,  λ)


(-1)*násobek 1.řádku přičteme ke 3.řádku

(1, -1, -2,  2,  3)
(0,  6, -4,  6, -2)
(0,  1,  2, -1, -3)
(0, -3,  2, -3,  1)
(0, 6, -4,   6,  λ)

4.řádek vynásobíme (-2):
(1, -1, -2,  2,  3)
(0,  6, -4,  6, -2)
(0,  1,  2, -1, -3)
(0, 6, -4,   6, -2)
(0, 6, -4,   6,  λ)

2. a 4.řádek jsou shodné, lze tedy např. 4.řádek vynechat:

(1, -1, -2,  2,  3)
(0,  6, -4,  6, -2)
(0,  1,  2, -1, -3)
(0, 6, -4,   6,  λ)

(-6)násobek 3.řádku přičteme k 2.řádku:

(1, -1, -2,   2,  3)
(0,  0,-16, 12,16)
(0,  1,  2, -1,  -3)
(0, 6, -4,   6,   λ)

(-6)násobek 3.řádku přičteme k 4.řádku:

(1, -1, -2,    2,        3)
(0,  0,-16,  12,      16)
(0,  1,    2, -1,       -3)
(0,  0, -16,  12, λ+18)

Prohodíme 2.a 3.řádek

(1, -1, -2,    2,        3)
(0,  1,    2, -1,       -3)
(0,  0,-16,  12,      16)
(0,  0, -16,  12, λ+18)

(-1)*násobek 3.řádku přičteme ke 4.řádku:

(1, -1, -2,    2,      3)
(0,  1,    2, -1,     -3)
(0,  0,-16,  12,    16)
(0,  0,    0,   0,  λ+2)

Nyní již jasně vidíme:

Pokud λ+2 = 0, tj. λ = (-2), je dimenze spojení V v W: 3
Pokud λ ≠ (-2), je dimenze spojení V v W: 4

Výpočet průniku V ∩ W :

Využijeme vztahu

dim V ∩ W = dim V + dim W – dim V v W

pro λ = (-2), je dimenze průniku

dim V ∩ W = 2 + 2 – 3 = 1.

pro λ ≠ (-2), je dimenze průniku

dim V ∩ W = 3 + 2 – 4 = 1.

Průnikem o dimenzi 1 je např. přímka procházející počátkem.

Jinak při výpočtu dimenze V na začátku leckomu na první pohled vychází λ = 8, ale nenechte se zmást, je to opravdu (-2).

Offline

 

#4 14. 11. 2016 15:28 — Editoval Elisa (15. 11. 2016 07:45)

Elisa
Příspěvky: 3090
Reputace:   13 
 

Re: Dimenze prostorů v závislosti na parametru

Citace>

Provedeme sloupcovou úpravu – vyměníme 1. a poslední sloupec

(1, -1, -2, 2,  3)
(-1, 4, 0, 1, - 1)
(0, 6, -4, 6,   λ)

1.řádek přičteme k 2.řádku

(1, -1, -2, 2,  3)
(0, 3, -2,  3, -1)    ///// tady má být dvojka
(0, 6, -4, 6,   λ)


Provedeme sloupcovou úpravu – vyměníme 1. a poslední sloupec

(1, -1, -2, 2,  3)
(-1, 4, 0, 1, - 1)     //// tady má být +1
(0, 6, -4, 6,   λ)

Offline

 

#5 14. 11. 2016 15:44 — Editoval vanok (14. 11. 2016 17:45)

vanok
Příspěvky: 14313
Reputace:   740 
 

Re: Dimenze prostorů v závislosti na parametru

Ahoj.
Tretia matica, ked urobis R1+R2 mas chybu scitania.   ↑ Argcotgh x: posledny clen ma byt 3-1=2. ( nie-1)

Ako vidim to opravila v poslednom prispevku ↑ Elisa:

Ale treba upravit aj pokracovanie.   $\lambda =4$ je kriticka hodnota ..
POKRACUJ.

Ako na to spravne upozornil ↑ Argcotgh x: a aj to opravil, co sa tyka vymeny stlpcov ktora je povinna v celom cviceni...ale treba opravit aj chybu vo vypocte Lin. Komb.  a potom  treba pokracovat  aj z dobrou diskuziou....cize $\lambda=..,


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#6 14. 11. 2016 21:50 — Editoval Elisa (14. 11. 2016 22:28) Příspěvek uživatele Elisa byl skryt uživatelem Elisa. Důvod: chyba

#7 15. 11. 2016 00:22 — Editoval vanok (15. 11. 2016 13:09)

vanok
Příspěvky: 14313
Reputace:   740 
 

Re: Dimenze prostorů v závislosti na parametru

↑ Elisa:,
Tu nejde o $\cap $ ale skor o vypocet dim. generovaneho priestoru z dvoch jeho podpriestorov. .. tak ze sa sa urci rank=hodnost tej matice vytvorenej vektormy  baz obidvoch podpriestorov....  cize dim. $\cup $
Pouzitim teoreme o dim. mame tak aj dim. suctu suctu tych priestorov.

Ta chyba bola co si tu ↑ Elisa: opravila

Prakticka otazka je, Ako by si urcila prislusne bazy vsetkych podpriestorov?

Tu je jedno cvicenie na tu temu, http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=90562


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#8 15. 11. 2016 06:22 Příspěvek uživatele Elisa byl skryt uživatelem Elisa.

#9 15. 11. 2016 08:07

Elisa
Příspěvky: 3090
Reputace:   13 
 

Re: Dimenze prostorů v závislosti na parametru

Ještě je v původním příspěvku chyba u dim V v prohození prvního a posledního sloupečku. Má to být takto?
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-11/93375_20161115_075725.jpg

Offline

 

#10 15. 11. 2016 10:33

vanok
Příspěvky: 14313
Reputace:   740 
 

Re: Dimenze prostorů v závislosti na parametru

↑ Elisa:
Ano. To chybalo.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#11 15. 11. 2016 14:26

Elisa
Příspěvky: 3090
Reputace:   13 
 

Re: Dimenze prostorů v závislosti na parametru

Děkuji a V $\vee $ W bude takto?
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-11/16257_rps20161115_142338.jpg

Offline

 

#12 15. 11. 2016 15:24

vanok
Příspěvky: 14313
Reputace:   740 
 

Re: Dimenze prostorů v závislosti na parametru

Rozlisuj aj tu pripad , ked $ \lambda =8$ a ked $ \neq 8$.
( tie zapisy z urobenymy kombinaciamy je lepsie pisat, ako som ti to ukazal.... )
Dobre ukoncenie cvicenia.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#13 15. 11. 2016 16:44

Elisa
Příspěvky: 3090
Reputace:   13 
 

Re: Dimenze prostorů v závislosti na parametru

↑ vanok:
Dimenze bude 4 ať je $\lambda $ jakákoliv? Vždycky půjde vynásobit řádky, aby byly stejné?

Offline

 

#14 15. 11. 2016 16:47

vanok
Příspěvky: 14313
Reputace:   740 
 

Re: Dimenze prostorů v závislosti na parametru

Ano.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#15 15. 11. 2016 17:05 — Editoval Elisa (15. 11. 2016 22:32)

Elisa
Příspěvky: 3090
Reputace:   13 
 

Re: Dimenze prostorů v závislosti na parametru

Děkuji. Takhle?
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-11/45517_20161115_222836.jpg

Offline

 

#16 15. 11. 2016 22:51

vanok
Příspěvky: 14313
Reputace:   740 
 

Re: Dimenze prostorů v závislosti na parametru

↑ Elisa:,
Ano. A keby si mala nast bazy vsetkych priestorov?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#17 15. 11. 2016 23:02

Elisa
Příspěvky: 3090
Reputace:   13 
 

Re: Dimenze prostorů v závislosti na parametru

↑ vanok:
Moc děkuji
Báze budou první 4 nenulové řádky V$\vee $W?

Offline

 

#18 15. 11. 2016 23:03

vanok
Příspěvky: 14313
Reputace:   740 
 

Re: Dimenze prostorů v závislosti na parametru

↑ Elisa:
Pozor.  Treba dat do poriadku tu zmeny stlpca....


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#19 15. 11. 2016 23:08

Elisa
Příspěvky: 3090
Reputace:   13 
 

Re: Dimenze prostorů v závislosti na parametru

<(3,-1,2,2,1),(-3,1,-2,-1,0),(13,0,4,6,0),(1,0,0,0,0)>

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson