Matematické Fórum

Argcotgh x · 30. 10. 2014 07:26

Ahoj, mohli byste mi, prosím, zkontrolovat správnost řešení této úlohy?

Určete dimenzi prostorů V, W, V ∩ W, V v W, které jsou podprostory R5,

v závislosti na λ, náležející R, kde

V = <(3, -1, -2, 2, 1), (1, 4, 0, 1, -1), (λ, 6, -4, 6, 0)>
W = <(1, -3, 2, -3, 0), (0, 0, 0, 1, 1)>

Dimenze prostoru V:

(3, -1, -2, 2, 1)
(1, 4, 0, 1, - 1)
(λ, 6, -4, 6, 0)

Provedeme sloupcovou úpravu – vyměníme 1. a poslední sloupec

(1, -1, -2, 2, 3)
(-1, 4, 0, 1, - 1)
(0, 6, -4, 6, λ)

1.řádek přičteme k 2.řádku

(1, -1, -2, 2, 3)
(0, 3, -2, 3, -1)
(0, 6, -4, 6, λ)

2.řádek vynásobíme 2x

(1, -1, -2, 2, 3)
(0, 6, -4, 6, -2)
(0, 6, -4, 6, λ)

Pokud je λ = (-2), je 2.a 3.řádek lineárně závislý, h(V) = 2, dim V = 2.

Pokud je λ ≠ (-2), je 2. a 3.řádek lineárně nezávislý, h(V) = 3, dim V = 3.

Dimenze prostoru W:

(1, -3, 2, -3, 0)
(0, 0, 0, 1, 1)

Zde není co upravovat,

Dim W = 2.

Dimenze spojení V v W:

(1, -1, -2, 2, 3)
(0, 6, -4, 6, -2)
(0, 6, -4, 6, λ)
(1, -3, 2, -3, 0)
(0, 0, 0, 1, 1)

Prohodíme 3. a 5. řádek, abychom dostali λ co nejníže a vpravo

(1, -1, -2, 2, 3)
(0, 6, -4, 6, -2)
(1, -3, 2, -3, 0)
(0, 0, 0, 1, 1)
(0, 6, -4, 6, λ)

(-1) násobek 1.řádku přičteme ke 3.řádku

(1, -1, -2, 2, 3)
(0, 6, -4, 6, -2)
(0, -2, 4, -5, -3)
(0, 0, 0, 1, 1)
(0, 6, -4, 6, λ)

2.řádek přičteme k trojnásobku 3.řádku

(1, -1, -2, 2, 3)
(0, 6, -4, 6, -2)
(0, -6, 12, -15, -9)
(0, 0, 0, 1, 1)
(0, 6, -4, 6, λ)

(1, -1, -2, 2, 3)
(0, 6, -4, 6, -2)
(0, 0, 8, -9, -11)
(0, 0, 0, 1, 1)
(0, 6, -4, 6, λ)

(-1) násobek 2.řádku přičteme k 5.řádku:

(1, -1, -2, 2, 3)
(0, 6, -4, 6, -2)
(0, 0, 8, -9, -11)
(0, 0, 0, 1, 1)
(0, 0, 0, 0, λ+2)

Pokud λ+2 = 0, tj. λ = (-2), je dimenze spojení V v W: 4
Pokud λ ≠ (-2), je dimenze spojení V v W: 5

Výpočet průniku V ∩ W :

Využijeme vztahu

dim V ∩ W = dim V + dim W – dim V v W

pro λ = (-2), je dimenze průniku

dim V ∩ W = 2 + 2 – 4 = 0.

pro λ ≠ (-2), je dimenze průniku

dim V ∩ W = 3 + 2 – 5 = 0.

OndrasV · 30. 10. 2014 14:33

↑ Argcotgh x: Ano, to vypadá správně.

Argcotgh x · 01. 11. 2014 16:21

Původní příspěvek je správný až po "dim W = 2",

dále už se vyskytla chyba a správné řešení pokračuje takto:

Dimenze spojení V v W:

Protože jsme u prostoru V v matici prohodili 1. a poslední sloupec, musíme tyto sloupce prohodit i u prostoru W:

(1, -1, -2, 2, 3)
(0, 6, -4, 6, -2)
(0, 6, -4, 6, λ)
(0, -3, 2, -3, 1)
(1, 0, 0, 1, 0)

Prohodíme 3. a 5.řádek, abychom dostali λ co nejníže a vpravo:

(1, -1, -2, 2, 3)
(0, 6, -4, 6, -2)
(1, 0, 0, 1, 0)
(0, -3, 2, -3, 1)
(0, 6, -4, 6, λ)

(-1)*násobek 1.řádku přičteme ke 3.řádku

(1, -1, -2, 2, 3)
(0, 6, -4, 6, -2)
(0, 1, 2, -1, -3)
(0, -3, 2, -3, 1)
(0, 6, -4, 6, λ)

4.řádek vynásobíme (-2):
(1, -1, -2, 2, 3)
(0, 6, -4, 6, -2)
(0, 1, 2, -1, -3)
(0, 6, -4, 6, -2)
(0, 6, -4, 6, λ)

2. a 4.řádek jsou shodné, lze tedy např. 4.řádek vynechat:

(1, -1, -2, 2, 3)
(0, 6, -4, 6, -2)
(0, 1, 2, -1, -3)
(0, 6, -4, 6, λ)

(-6)násobek 3.řádku přičteme k 2.řádku:

(1, -1, -2, 2, 3)
(0, 0,-16, 12,16)
(0, 1, 2, -1, -3)
(0, 6, -4, 6, λ)

(-6)násobek 3.řádku přičteme k 4.řádku:

(1, -1, -2, 2, 3)
(0, 0,-16, 12, 16)
(0, 1, 2, -1, -3)
(0, 0, -16, 12, λ+18)

Prohodíme 2.a 3.řádek

(1, -1, -2, 2, 3)
(0, 1, 2, -1, -3)
(0, 0,-16, 12, 16)
(0, 0, -16, 12, λ+18)

(-1)*násobek 3.řádku přičteme ke 4.řádku:

(1, -1, -2, 2, 3)
(0, 1, 2, -1, -3)
(0, 0,-16, 12, 16)
(0, 0, 0, 0, λ+2)

Nyní již jasně vidíme:

Pokud λ+2 = 0, tj. λ = (-2), je dimenze spojení V v W: 3
Pokud λ ≠ (-2), je dimenze spojení V v W: 4

Výpočet průniku V ∩ W :

Využijeme vztahu

dim V ∩ W = dim V + dim W – dim V v W

pro λ = (-2), je dimenze průniku

dim V ∩ W = 2 + 2 – 3 = 1.

pro λ ≠ (-2), je dimenze průniku

dim V ∩ W = 3 + 2 – 4 = 1.

Průnikem o dimenzi 1 je např. přímka procházející počátkem.

Jinak při výpočtu dimenze V na začátku leckomu na první pohled vychází λ = 8, ale nenechte se zmást, je to opravdu (-2).

Elisa · 14. 11. 2016 15:28 — Editoval Elisa (15. 11. 2016 07:45)

Citace>

Provedeme sloupcovou úpravu – vyměníme 1. a poslední sloupec

(1, -1, -2, 2, 3)
(-1, 4, 0, 1, - 1)
(0, 6, -4, 6, λ)

1.řádek přičteme k 2.řádku

(1, -1, -2, 2, 3)
(0, 3, -2, 3, -1) ///// tady má být dvojka
(0, 6, -4, 6, λ)

Provedeme sloupcovou úpravu – vyměníme 1. a poslední sloupec

(1, -1, -2, 2, 3)
(-1, 4, 0, 1, - 1) //// tady má být +1
(0, 6, -4, 6, λ)

vanok · 14. 11. 2016 15:44 — Editoval vanok (14. 11. 2016 17:45)

Ahoj.
Tretia matica, ked urobis R1+R2 mas chybu scitania. ↑ Argcotgh x: posledny clen ma byt 3-1=2. ( nie-1)

Ako vidim to opravila v poslednom prispevku ↑ Elisa:

Ale treba upravit aj pokracovanie. $\lambda =4$ je kriticka hodnota ..
POKRACUJ.

Ako na to spravne upozornil ↑ Argcotgh x: a aj to opravil, co sa tyka vymeny stlpcov ktora je povinna v celom cviceni...ale treba opravit aj chybu vo vypocte Lin. Komb. a potom treba pokracovat aj z dobrou diskuziou....cize $\lambda=..,

vanok · 15. 11. 2016 00:22 — Editoval vanok (15. 11. 2016 13:09)

↑ Elisa:,
Tu nejde o $\cap$ ale skor o vypocet dim. generovaneho priestoru z dvoch jeho podpriestorov. .. tak ze sa sa urci rank=hodnost tej matice vytvorenej vektormy baz obidvoch podpriestorov.... cize dim. $\cup$
Pouzitim teoreme o dim. mame tak aj dim. suctu suctu tych priestorov.

Ta chyba bola co si tu ↑ Elisa: opravila

Prakticka otazka je, Ako by si urcila prislusne bazy vsetkych podpriestorov?

Tu je jedno cvicenie na tu temu, http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=90562

Elisa · 15. 11. 2016 08:07

Ještě je v původním příspěvku chyba u dim V v prohození prvního a posledního sloupečku. Má to být takto?
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-11/93375_20161115_075725.jpg

vanok · 15. 11. 2016 10:33

↑ Elisa:
Ano. To chybalo.

Elisa · 15. 11. 2016 14:26

Děkuji a V $\vee$ W bude takto?
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-11/16257_rps20161115_142338.jpg

vanok · 15. 11. 2016 15:24

Rozlisuj aj tu pripad , ked $\lambda =8$ a ked $\neq 8$ .
( tie zapisy z urobenymy kombinaciamy je lepsie pisat, ako som ti to ukazal.... )
Dobre ukoncenie cvicenia.

Elisa · 15. 11. 2016 16:44

↑ vanok:
Dimenze bude 4 ať je $\lambda$ jakákoliv? Vždycky půjde vynásobit řádky, aby byly stejné?

vanok · 15. 11. 2016 16:47

Ano.

Elisa · 15. 11. 2016 17:05 — Editoval Elisa (15. 11. 2016 22:32)

Děkuji. Takhle?
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-11/45517_20161115_222836.jpg

vanok · 15. 11. 2016 22:51

↑ Elisa:,
Ano. A keby si mala nast bazy vsetkych priestorov?

Elisa · 15. 11. 2016 23:02

↑ vanok:
Moc děkuji
Báze budou první 4 nenulové řádky V $\vee$ W?

vanok · 15. 11. 2016 23:03

↑ Elisa:
Pozor. Treba dat do poriadku tu zmeny stlpca....

Elisa · 15. 11. 2016 23:08

<(3,-1,2,2,1),(-3,1,-2,-1,0),(13,0,4,6,0),(1,0,0,0,0)>

Matematické Fórum

#1 30. 10. 2014 07:26

Dimenze prostorů v závislosti na parametru

#2 30. 10. 2014 14:33

Re: Dimenze prostorů v závislosti na parametru

#3 01. 11. 2014 16:21

Re: Dimenze prostorů v závislosti na parametru

#4 14. 11. 2016 15:28 — Editoval Elisa (15. 11. 2016 07:45)

Re: Dimenze prostorů v závislosti na parametru

#5 14. 11. 2016 15:44 — Editoval vanok (14. 11. 2016 17:45)

Re: Dimenze prostorů v závislosti na parametru

#6 14. 11. 2016 21:50 — Editoval Elisa (14. 11. 2016 22:28) Příspěvek uživatele Elisa byl skryt uživatelem Elisa. Důvod: chyba

#7 15. 11. 2016 00:22 — Editoval vanok (15. 11. 2016 13:09)

Re: Dimenze prostorů v závislosti na parametru

#8 15. 11. 2016 06:22 Příspěvek uživatele Elisa byl skryt uživatelem Elisa.

#9 15. 11. 2016 08:07

Re: Dimenze prostorů v závislosti na parametru

#10 15. 11. 2016 10:33

Re: Dimenze prostorů v závislosti na parametru

#11 15. 11. 2016 14:26

Re: Dimenze prostorů v závislosti na parametru

#12 15. 11. 2016 15:24

Re: Dimenze prostorů v závislosti na parametru

#13 15. 11. 2016 16:44

Re: Dimenze prostorů v závislosti na parametru

#14 15. 11. 2016 16:47

Re: Dimenze prostorů v závislosti na parametru

#15 15. 11. 2016 17:05 — Editoval Elisa (15. 11. 2016 22:32)

Re: Dimenze prostorů v závislosti na parametru

#16 15. 11. 2016 22:51

Re: Dimenze prostorů v závislosti na parametru

#17 15. 11. 2016 23:02

Re: Dimenze prostorů v závislosti na parametru

#18 15. 11. 2016 23:03

Re: Dimenze prostorů v závislosti na parametru

#19 15. 11. 2016 23:08

Re: Dimenze prostorů v závislosti na parametru

Zápatí