Matematické Fórum

PoisonIvy

Dobrý den,
mám tu dva příklady na Lagrangeovu funkci, bohužel si s nimi vůbec nevím rady. Zadání je následující

1. Najděte a vyřešte pohybové rovnice pro částici s Lagrangeovou funkcí
$L = \frac{m}{2}(x^{.2}+y^{.2}+z^{.2})-mg(z+\frac{x^{.}}{x}+\frac{y^{.}}{y})$

Výsledek by měl být
$x=A_{1}t+A_{2}$
$y=B_{1}t+B_{2}$
$z=C_{1}t-\frac{g}{2}t^{2}+C_{2}$

2. Uvažujte částici pohybující se v rovině pod vlivem centrální síly
$F(r)=-\frac{k_{1}}{r^{2}}+\frac{k_{2}}{r^{3}}$
Najděte Lagrangeovu funkci částice, pohybové rovnice v polárních souřadnicích a řešení pohybových rovnic pro případ, že pro moment hybnosti l platí
$l^{2}>-mk_{2}$

Výsledek je
$r=[Acos(\sqrt{1+\frac{mk_{2}}{l^{2}}}\varphi+\varphi _{0})+\frac{mk_{1}}{l^{2}+mk_{2}}]^{-1}$

Děkuji za jakoukoliv radu.
Výsledek by měl být
$L=\frac{m}{2}(r^{.2}+r^{2}\varphi^{.2}+\frac{k_{1}}{r}-\frac{k_{2}}{2r^{2}}$

LukasM · 16. 11. 2016 16:00

↑ PoisonIvy:
Začněme prvním příkladem, ať se to nemotá dohromady. Co konkrétně není jasné? Lagrangián máš, je potřeba sestavit pohybové rovnice. To je standardní postup. Pro x to bude $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{dt} }\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0$ . Totéž pro y a z. Zkus to sama.

PoisonIvy · 17. 11. 2016 15:51

Ten první příklad už mám.
Já jsem totiž špatně počítala to d/dt, ale nakonec jsem se dohrabala ke správnému výsledku
y''=0
x''=0
z''=-g

U toho druhého jsem došla k L = ... ale nevím, jak získat r. Kam bych měla dosadit ten moment hybnosti, nebo s čím ho porovnat.

LukasM · 21. 11. 2016 08:27

↑ PoisonIvy:
Musím se přiznat, že se mi to dopočítat nepodařilo. Ale v principu to bude nějak takhle. Z Lagrangiánu opět sestavíš pohybové rovnice. Rovnice pro $\varphi$ nám dá zákon zachování zobecněné hybnosti příslušející úhlu - to je právě moment hybnosti. Takže kdekoli tuto zobecněnou hybnost potkáme, můžeme ji označit $l$ a považovat za konstantu. To bude potřeba udělat v té druhé rovnici (pro $r$ ). A podle uváděného výsledku nakonec pravděpodobně vznikne rovnice harmonického oscilátoru pro $r^{-1}$ , kde bude pro řešení podstatné znaménko nějakého koeficientu - a tam právě použiješ tu zadanou nerovnost (takže ten koeficient bude asi tvaru $l^2+mk_2$ ).

Ale jak říkám, nedopočítal jsem to. Takže když to ještě přepočítá nějaký nadanější teoretický fyzik, třeba se ukáže, že v něčem nemám pravdu.

PoisonIvy · 21. 11. 2016 16:37

Nakonec jsem dopočítala i ten příklad, ale stálo mě to teda velké úsilí.
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-11/42589_rrrrrrrrrrrr.png
Možná je tam někde překlep, ale takhle jsem to spočítala

Matematické Fórum

#1 16. 11. 2016 15:22 — Editoval PoisonIvy (16. 11. 2016 15:24)

Lagrangeova funkce

#2 16. 11. 2016 16:00

Re: Lagrangeova funkce

#3 17. 11. 2016 15:51

Re: Lagrangeova funkce

#4 21. 11. 2016 08:27

Re: Lagrangeova funkce

#5 21. 11. 2016 16:37

Re: Lagrangeova funkce

Zápatí