Matematické Fórum

dominiksep · 14. 11. 2016 16:35

Ahoj,
mohli byste mi prosím poradit, jak na limitu následující posloupnosti:
$\lim_{n\rightarrow +\infty}n(\sqrt[n]{e}-1)$
Děkuji

Pritt · 14. 11. 2016 16:51

↑ dominiksep:

Ahoj, rozšiř zlomek výrazem $\dfrac{1}{n}$ , potom za použití Heineovy věty a l'Hospitalova pravidla dostaneš výsledek.

Al1 · 14. 11. 2016 16:51

↑ dominiksep:

Zdravím,

zkus třeba úpravu
$\lim_{n\rightarrow +\infty}n(\sqrt[n]{e}-1)=\lim_{n\to\infty }\frac{e^{\frac{1}{n}}-1}{\frac{1}{n}}$

dominiksep · 14. 11. 2016 16:56

↑ Pritt:
Tak bych to normálně řešil taky, ale nesmíme použít Heineovu větu a musíme tedy zůstat u posloupností.

dominiksep · 14. 11. 2016 21:46

↑ Al1:
Ahoj,
to vede na substituci, ne? Ta ale jde udělat jen pro limitu funkce, jestli se nepletu. Já musím zůstat u posloupností.

Pritt · 14. 11. 2016 22:32

↑ dominiksep:

Ta substituce je vlastně Heineova věta. Jinak teď jiné řešení nevidím, tak snad doplní někdo jiný.

jarrro · 16. 11. 2016 08:25

↑ Pritt:↑ dominiksep:
Toto je košer?(nie som si istý)
$\frac{1}{\left\lceil\frac{1}{\mathrm{e}^{\frac{1}{n}}-1}\right\rceil\ln{$1+\frac{1}{\left\lceil\frac{1}{\mathrm{e}^{\frac{1}{n}}-1}\right\rceil}$}}\leq n$\mathrm{e}^{\frac{1}{n}}-1$\leq\frac{1}{\left\lfloor\frac{1}{\mathrm{e}^{\frac{1}{n}}-1}\right\rfloor\ln{$1+\frac{1}{\left\lfloor\frac{1}{\mathrm{e}^{\frac{1}{n}}-1}\right\rfloor}$}}$

Pritt · 19. 11. 2016 11:38

↑ jarrro:

Pokud je potřeba využít vztahu $\lim_{x \to 0}\dfrac{ln(1+x)}{x} = 1$ tak bych řekl, že jsme si moc nepomohli.

Jinak jak přesně vznikl takový odhad?

jarrro · 19. 11. 2016 14:38 — Editoval jarrro (19. 11. 2016 14:41)

↑ Pritt:veď práve neviem či je to vôbec pravda
Uvažoval som tak,že som položil
$m=\frac{1}{\mathrm{e}^{\frac{1}{n}}-1}$ potom
$n$\sqrt[n]{\mathrm{e}}-1$=\frac{1}{\ln{$1+\frac{1}{m}$}}\cdot\frac{1}{m}$
Tu ale m nemusí byť prirodzené preto tie horné a dolné celé časti
To by sa potom mohla využiť veta o dvoch policajtoch (teda ak to platí )( lebo ak horná aj dolná časť m idú k nekonečnu tak aj n ide k nekonečnu) a spojitosť logaritmu.

Pritt · 19. 11. 2016 15:06

Tak první část toho odhadu funguje.

$\dfrac{1}{\lceil m \rceil} \leq \dfrac{1}{m} \leq \dfrac{1}{\lfloor m \rfloor}$

Ale co ta druhá část?

$\frac{1}{\ln{$1+\frac{1}{\lceil m \rceil }$}} \leq \frac{1}{\ln{$1+\frac{1}{m}$}} \leq \frac{1}{\ln{$1+\frac{1}{\lfloor m \rfloor}$}}$

Pokud $m \leq \lceil m \rceil$ , tak je výraz $\frac{1}{m} \geq \frac{1}{\lceil m \rceil}$ , takže $\ln{$1+\frac{1}{ m }$} \geq \ln{$1+\frac{1}{\lceil m \rceil }$}$ a tedy $\dfrac{1}{\ln{$1+\frac{1}{ m }$}} \leq \dfrac{1}{\ln{$1+\frac{1}{\lceil m \rceil }$}}$ .

Což tedy ten odhad zpochybňuje, řekl bych.

jarrro · 19. 11. 2016 19:14 — Editoval jarrro (19. 11. 2016 19:26)

Pritt napsal(a):
Tak první část toho odhadu funguje.

$\dfrac{1}{\lceil m \rceil} \leq \dfrac{1}{m} \leq \dfrac{1}{\lfloor m \rfloor}$

Ale co ta druhá část?

$\frac{1}{\ln{$1+\frac{1}{\lceil m \rceil }$}} \leq \frac{1}{\ln{$1+\frac{1}{m}$}} \leq \frac{1}{\ln{$1+\frac{1}{\lfloor m \rfloor}$}}$

Pokud $m \leq \lceil m \rceil$ , tak je výraz $\frac{1}{m} \geq \frac{1}{\lceil m \rceil}$ , takže $\ln{$1+\frac{1}{ m }$} \geq \ln{$1+\frac{1}{\lceil m \rceil }$}$ a tedy $\dfrac{1}{\ln{$1+\frac{1}{ m }$}} \leq \dfrac{1}{\ln{$1+\frac{1}{\lceil m \rceil }$}}$ .

Což tedy ten odhad zpochybňuje, řekl bych.

Zabudol si ešte vynásobiť menovatele nie?
$0<\left\lfloor m\right\rfloor\leq m\leq\left\lceil m\right\rceil\nl $1+\frac{1}{\left\lfloor m\right\rfloor}$^{\left\lfloor m\right\rfloor}\leq$ 1+\frac{1}{m}$^m\leq $1+\frac{1}{\left\lceil m\right\rceil}$^{\left\lceil m\right\rceil}$

Matematické Fórum

#1 14. 11. 2016 16:35

Limita posloupnosti

#2 14. 11. 2016 16:51

Re: Limita posloupnosti

#3 14. 11. 2016 16:51

Re: Limita posloupnosti

#4 14. 11. 2016 16:56

Re: Limita posloupnosti

#5 14. 11. 2016 21:46

Re: Limita posloupnosti

#6 14. 11. 2016 22:32

Re: Limita posloupnosti

#7 16. 11. 2016 08:25

Re: Limita posloupnosti

#8 19. 11. 2016 11:38

Re: Limita posloupnosti

#9 19. 11. 2016 14:38 — Editoval jarrro (19. 11. 2016 14:41)

Re: Limita posloupnosti

#10 19. 11. 2016 15:06

Re: Limita posloupnosti

#11 19. 11. 2016 19:14 — Editoval jarrro (19. 11. 2016 19:26)

Re: Limita posloupnosti

Pritt napsal(a):

Zápatí