Matematické Fórum

lucille · 01. 12. 2016 01:18

Mám danou kuželosečku $3x^{2}+4xy+5y^{2}-7x-8y-3=0$ . Mám určit:

a) jestli je regulární. To jsem udělala pomocí matice. Nevím jestli je to korektní, ale mělo by to fungovat.
$\left( \begin{array}{ccc@{\ }r} 3 & 2 & -\frac{7}{2} \\ 2 & 5 & -4 \\ -\frac{7}{2} & -4 & -3 \\ \end{array} \right)$
Vyšlo mi, že je regulární.

b) střed kuželosečky. Tady už končím, protože totéž jako u elipsy s osami rovnoběžnými se souřadnicovými osami zřejmě nefunguje a já se s jiným typem elipsy zatím nepotkala. Takže tady prosím o radu.

c) napsat rovnice tečen v bodě $T[?,1]$ . Body dotyku budou $T_{1}[2,1]$ a $T_{2}[-1,1]$ .
Teď potřebuju najít přímku která prochází T a má s elipsou jen jeden společný bod. Jak na to?

Prosím jen o nápovědu nepište mi celé řešení :-) díky

misaH · 01. 12. 2016 06:51 — Editoval misaH (01. 12. 2016 06:52)

↑ lucille:

Doplniť na štvorce podľa x aj y, následne doupraviť na stredový tvar kužeľosečky.

Bod dotyku leží na kužeľosečke.

lucille · 01. 12. 2016 18:49

Doplnění na čtverec mě samozřejmě napadlo, ale nevím co provést s tím členem kde je xy.

T která jsem napsala, leží na té elipse.
Napadlo mě, napsat si obecnou rovnici přímky (jako tečny) dosadit do jí jeden z bodů (pro T1 dostanu ax+by-(2a+b)=0 a to potom dosadit do rovnice elipsy a determinant položit nule, ale vychází mi tam pak nějaké nesmysly, které nejsem schopná dopočítat.
Ale možná dělám numerickou chybu. Může tenhle postup fungovat?

Speedding · 01. 12. 2016 19:49

c)

Když máš body dotyku; nestačilo by zderivovat rovnici té kuželosečky, tím získáš směrnici tečny a pak jen dosadit do rovnice tečny?

Je to jen takový tip, ve škole (na VŠ) jsme to ještě neměli. Jen jsme podobné kravinky dělali na gymplu v rámci semináře z matematické analýzy. Je to už dávno, ale tuším, že jsme to řešili nějak takhle, jak jsem teď napsal.

lucille · 01. 12. 2016 20:37

↑ Speedding:
když bych to chtěla derivovat musela bych nejdřív vyjádřit y a nebo derivovat podle x a y nechat jako konstantu, ne? (a to mi nefunguje.) Nebo jak jinak to zderivovat?

zdenek1 · 01. 12. 2016 22:26

↑ lucille:
Můžeš to derivovat jako implicitní funkci
$6x+4(y+xy^\prime)+10yy^\prime-7-8y^\prime=0$
a vyjádřit $y^\prime$

vanok · 02. 12. 2016 00:21

Ahoj ↑ lucille:,
Som ozaj prekvapeny, ze chces riesit cvicenie na ktore vam nedali v skole metodu (aspon jednu) na ich riesenie. Si si ista, ze vam nepovedali aspon toto?
B)
Pokial mas danu rovnicu
$ax^2+2bxy+ c y^2+dx+ey +f=0$
Na urcenie krivky, ktoru representuje, urcime najprv jej discriminant $\Delta=ac-b^2$ .
Tu $\Delta=3\times 5-2^2=11>0$ , co znamena, se ide o elipsu.
Aby sme sa zbavili linearnych clenov z x a y, polozime
$x=X+\alpha\\ y=Y+\beta$
Co nam da novy reper vo strede $\Omega (\alpha,\beta)$ elipsy ktora sa potom pise
$aX^2+ 2bXY+cY^2=F$

Pripomina ti to nieco?
Najdi zatial stred elipsy.

Na pokracovanie.....

lucille · 02. 12. 2016 22:01

no, tak tohle jsem vážně nikdy neviděla:-) Na cvičeních jsme dělali vždycky jen kuželosečky, které mají osy rovnoběžné s osami souřadnic a řešili jsme to jinak.
Neznáš nějaký zdroj (nejlíp dosažitelný online) kde bych se na to mohla mrknout? Nejlíp s řešenými příklady? Až pak bych otravovala s případnými dotazy, protože takhle by to se mnou bylo asi na dlouho :-)

vanok · 02. 12. 2016 22:21 — Editoval vanok (03. 12. 2016 11:36)

↑ lucille:,
Mozno vo wikipedii najdes... engl. ci fr.
Take nam, ked som studoval mozno pripomenuli v prvom rocniku na cviceniach.... ale to nie je nic tazke, vsak ide len o posunutia ( translacie) a o otocenia ( rotacie), co v tej dobe bolo zname uz zo strednej skoly.
Vsak to sa da riesit aj potom z inymi technikami.

Zatial ukaz ako sa dostanes k tomu stredu elipsy, potom ti pripomeniem ako sa zbavit toho xy.

lucille · 04. 12. 2016 15:36

dobře, tak střed mi vyšel $[\frac{51}{38},\frac{-5}{19}]$ jestli to není dobře, rozepíšu ti, jak jsem postupovala...

vanok · 04. 12. 2016 15:42

Ahoj
Skus to rozpisat.
Stred sa zda byt (0,8636,0,4545)

lucille · 04. 12. 2016 15:57

$3(X+\alpha)^{2}+4(X+\alpha)(Y+\beta)-5(Y+\beta)^{2}-7(X+\alpha)-8(Y+\beta)-3=0$

po úpravě mi vyšlo $3X^{2}+4XY-5Y^{2}+X(6\alpha+4\beta-7)+Y(4\alpha-10\beta-8)= -3\alpha^{2}-4\alpha\beta+5\beta^{2}+7\alpha+8\beta+3$

pak jsem položila koef. u X a u Y rovný nule a dopočítala alfa a beta, což bz měl být střed, ne? protože jestli to chápu správně, tak právě to alfa a beta je vektor o který posouváme... ale asi teda špatná úvaha, že?

lucille · 04. 12. 2016 15:59

ježiš já tam mám opsané špatné znamínko hned na začátku! tak moment, ještě jednou :D

lucille · 04. 12. 2016 16:08

takže po tom co jsem si napsala správné znaménko je střed $[\frac{19}{22}, \frac{5}{11}]$ a to odpovídá tvým hodnotám :-)

vanok · 04. 12. 2016 16:15

Vidis, si sikovna
To otocenie este.
Dnes vecer ta nasmerujem ak treba

vanok · 05. 12. 2016 10:56 — Editoval vanok (05. 12. 2016 10:59)

Tak po uprave z najenimi hohnotami dostanes nieco ako
$AX^2+ 2BXY+CY^2=F$

Tak teraz poloz
$X^*=\cos (\theta)X-\sin(\theta)Y\\ Y^*=\sin (\theta)X-\cos(\theta)Y$
Potom po uprave vyber $\theta$ aby koef. pred XY bol 0.

lucille · 05. 12. 2016 12:50

$X^{2}(3\cos ^{2} \delta +4\sin\delta\cos\delta+5\sin^{2}\delta)+ Y^{2}(3\sin ^{2} \delta +4\sin\delta\cos\delta+5\cos^{2}\delta+ XY(-6\cos\delta\sin\delta-4\cos^{2}\delta-4\sin^{2}\delta-10\sin\delta\cos\delta)= -\frac{345}{44}$

když výraz u XY položím roven nule $4\cos\delta\sin\delta+\cos^{2}\delta+\sin^{2}\delta=0$
další postup (píšu, protože úpravama goniometrických výrazů si nejsem úplně jistá)
$4\cos\delta\sin\delta+1=0$
$2\cos\delta\sin\delta=-\frac{1}{2}$
$\sin2\delta=-\frac{1}{2}$
$2\delta= \frac{7}{6}\pi$ nebo $2\delta= \frac{11}{6}\pi$
$\delta=\frac{7}{12}\pi$ nebo $\delta=\frac{11}{12}\pi$

je to až sem správně?

vanok · 05. 12. 2016 13:19

Ahoj,
Nemam teraz vela casu. Ale princip je dobry.
No vsak treba mat len jedno riesenie.
Mozes skusit aj wa na overenie ...

Ked budem mat viac casu overim.

lucille · 05. 12. 2016 13:33

v pohodě, zkusím to večer zkontrolovat a kdyžtak pokračovat dál, klidně odpovídej až budeš mít čas, nijak extra to nespěchá :-)

Matematické Fórum

#1 01. 12. 2016 01:18

elipsa

#2 01. 12. 2016 06:51 — Editoval misaH (01. 12. 2016 06:52)

Re: elipsa

#3 01. 12. 2016 18:49

Re: elipsa

#4 01. 12. 2016 19:49

Re: elipsa

#5 01. 12. 2016 20:37

Re: elipsa

#6 01. 12. 2016 22:26

Re: elipsa

#7 02. 12. 2016 00:21

Re: elipsa

#8 02. 12. 2016 22:01

Re: elipsa

#9 02. 12. 2016 22:21 — Editoval vanok (03. 12. 2016 11:36)

Re: elipsa

#10 04. 12. 2016 15:36

Re: elipsa

#11 04. 12. 2016 15:42

Re: elipsa

#12 04. 12. 2016 15:57

Re: elipsa

#13 04. 12. 2016 15:59

Re: elipsa

#14 04. 12. 2016 16:08

Re: elipsa

#15 04. 12. 2016 16:15

Re: elipsa

#16 05. 12. 2016 10:56 — Editoval vanok (05. 12. 2016 10:59)

Re: elipsa

#17 05. 12. 2016 12:50

Re: elipsa

#18 05. 12. 2016 13:19

Re: elipsa

#19 05. 12. 2016 13:33

Re: elipsa

Zápatí