Matematické Fórum

Speedding · 15. 12. 2016 20:28

Potřebuji poradit s jedním příkladem, dělali jsme to na cviku, ale nějak jsem to nepochytil.

Nalezněte matici zobrazení $f:\mathbb Z^3_5 \Rightarrow \mathbb Z^3_5$ vůči kanonické bázi kan (shodná báze v obou prostorech). O zobrazení f je známo, že převádí vektory $u_1=(2,4,1), u_2=(2,3,4)u_3=(3,0,1)$ na vektory $f(u_1)=(2,1,2),f(u_2)=(0,4,1),f(u_3)=(4,4,1)$ .

Tak nějak nechápu celkově ten princip, jak by se to mělo dělat.
Vím, že $_{kan}[f]_{kan}\cdot [x]_{kan}= [f(x)]_{kan}$ , respektive mám to napsané v sešitě.

Dále zde mám soustavu
$\begin{pmatrix} \begin{array}{ccc|ccc} 2&2&3&1&0&0 \\ 4&3&0&0&1&0\\ 1&4&1&0&0&1 \end{array} \end{pmatrix}$

Ještě bych pochopil, jak jsme se k takové matici dostali. Ale nechápu, proč jsme se k ní dostali, respektive k čemu nám bude.

Po převedení do RREF jsme pak výsledek vynásobili zleva maticí obrazů, což už nechápu vůbec.

Takže vám předem děkuji za jakékoliv rady

Eratosthenes · 15. 12. 2016 23:06

ahoj ↑ Speedding:,

no, já nevím, jak to děláte vy, ale já bych to dělal asi takto: Hledanou matici označme M. Ze zadání plynou tři rovnice:

$f^T(u_1)= M\cdot u_1^T$
$f^T(u_2)= M\cdot u_2^T$
$f^T(u_3)= M\cdot u_3^T$

Každý vektor má tři složky, takže porovnáním složek dostanu devět rovnic pro devět neznámých prvků matice M.

vanok · 15. 12. 2016 23:34

Ahoj ↑ Speedding:,
Je to jednoduche. Pouzi metodu co je popisana tu https://en.m.wikipedia.org/wiki/Change_of_basis alebo aj tu. https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Matrice_de_passage.

Schéma $\begin{pmatrix} \begin{array}{ccc|ccc} 2&2&3&1&0&0 \\ 4&3&0&0&1&0\\ 1&4&1&0&0&1 \end{array} \end{pmatrix}$
ti chce pripomenut, ze inverzna matica tej lavo ti moze byt uzitocna a ti naznacuje, ze kludne mozes na jej vypocet pouzit Gauss-ovu metodu.

Speedding · 16. 12. 2016 21:08

Díky, změnit souřadnice vektorů (popř. množiny vektorů, resp. báze) vůči jiné bázi změnit umím. Nicméně stále nedokážu pochopit, jaké souřadnice mám změnit na jaké?

Teď mě tak napadlo... Nešlo by to vyřešit třeba i takhle? $(B_2|B_1)\sim (I_n|_{B_2}[id]_{B_1})$
Kde $B_2=\{f(u_1),f(u_2),f(u_3)\}$ a $B_1=\{u_1,u_2,u_3\}$

Je to víceméně jen takový tip, protože v tom mám opravdu zmatek ...

vanok · 17. 12. 2016 00:09 — Editoval vanok (17. 12. 2016 00:10)

↑ Speedding:

Tu ti pripomeniem vseobecny vysledok.
Nech E,F su vektorove priestory konecnej dimenzii.
Nech B1, B2 su dve bazy priestoru E, a
C1, C2 dve bazy priestoru F.
Nech u je linearna aplikacia z E do F a
A matica u v bazach B1 a C1
B matica u v bazach B2 a C2
P matica prechodu od B1 do B2
Q matica prechodu od C1 do C2
Potom mame $B=Q^{-1}AP$

To lahko upravis na tvoju situaciu.

Skus to urobit.
Napis co to to dalo.
Ak potrebujes pomoc napis.

Elisa · 17. 12. 2016 16:34

Co prosím znamená index T, např. v příspěvku #2? Děkuji

Al1 · 17. 12. 2016 16:44

↑ Elisa:

Zdravím,

$A^{T}$ znači transponovanou matici.

Elisa · 17. 12. 2016 16:49

↑ Al1:
Děkuji

vanok · 17. 12. 2016 16:55

Este ti pripomeniem, ze ak B1 je kanonicka baza a $B_2 =(u_1,u_2,u_3)$ tak matica 3,3 ako ta co je tu $\begin{pmatrix} \begin{array}{ccc|ccc} 2&2&3&1&0&0 \\ 4&3&0&0&1&0\\ 1&4&1&0&0&1 \end{array} \end{pmatrix}$ v lavej casti je matica prechodu z bazy B1 k baze B2.

Iste potrebujes vediet jej inverznu, vies ju najst?

Matematické Fórum

#1 15. 12. 2016 20:28

Matice lineárního zobrazení

#2 15. 12. 2016 23:06

Re: Matice lineárního zobrazení

#3 15. 12. 2016 23:34

Re: Matice lineárního zobrazení

#4 16. 12. 2016 21:08

Re: Matice lineárního zobrazení

#5 17. 12. 2016 00:09 — Editoval vanok (17. 12. 2016 00:10)

Re: Matice lineárního zobrazení

#6 17. 12. 2016 16:34

Re: Matice lineárního zobrazení

#7 17. 12. 2016 16:44

Re: Matice lineárního zobrazení

#8 17. 12. 2016 16:49

Re: Matice lineárního zobrazení

#9 17. 12. 2016 16:55

Re: Matice lineárního zobrazení

Zápatí