Matematické Fórum

Ten druhý příklad není těžký, samotné Cramerovo pravidlo je jednoduché, jediný problém je v determinantu 4. stupně.

Vezmu to popořádě:

1) označme si zadanou matici (A|b), kde A je matice daná koeficienty neznámých u lineárních rovnic soustavy a "b" je vektor pravých stran soustavy rovnic:


2) Cramerovo pravidlo nám říká, jak vypadá řešení soustavy n lineárních rovnic o n neznámých. Nejdříve je třeba vypočítat determinant  , pokud je determinant nulový, pak soustava rovnic nemá jednoznačné řešení. Pak je třeba vypočítat determinanty matic, které vzniknou tak, že zaměním i-tý sloupec za sloupec pravých stran. Takto vzniklá matice se označuje (dohromady je tedy třeba spočítat n+1 determinantů)


Ještě před počítáním determinantů je třeba si říct, jak se spočítá hodnota determinantu - jde to několika způsoby, já to ukážu to pomocí Gaussovy eliminace (tzn. snaha o převod matice na trojúhelníkový tvar se zachováním hodnoty determinantu)

Vlastnosti při počítání determinantu:

1) determinant jednotkové matice je 1
2) výměnou libovolných dvou řádků matice se změní znaménko determinantu
3) má-li matice libovolné dva řádky stejné, pak její determinant je nulový
4) vynásobením libovol. řádku matice nenulovým skalárem (číslem) se determinant příslušné matice zvětší -krát
5) determinant singulární matice je nulový, determinant regulární matice je nenulový

Takže vzhůru k počítání prvního determinantu:



vysvětlení úprav determinantu na trojúhelníkový tvar:
- v druhém kroku jsme zaměnili čtvrtý a druhý řádek, proto jsme museli determinant vynásobit -1, protože podle pravidel výše dochází ke změně znaménka determinantu
- ve třetím kroku jsme vynásobili třetí a čtvrtý řádek -1 a přičetli k oboum první řádek - čímž jsme nezměnili hodnotu determinantu
- ve čtvrtém kroku jsme přičetli dvojnásobek druhého řádku ke čtvrtému a pak jsme vynásobili třetí řádek pětko a čtvrtý řádek dvojkou a pak jsme třetí a čtvrtý řádek sečetli -> nyní jsme však provedli úpravu, která změnila hodnotu determinantu - a proto podle pravidla 4) musíme vydělit celý výraz pětkou a dvojkou (což je to samé jako násobení převrácenou hodnotou čísel)



a nyní se vynásobí prvky na diagonále (proto se celá Gaussova eliminace dělá; pokud máme matici ve trojúhelníkovém tvaru a vynásobíme členy na diagonále, dostaneme determinant matice) -> dostáváme -30; determinant je tedy: (-1) * 1/5 * 1/2 *(-30) = 3 = det A   (EDIT: CHYBA: místo -30 má být -80. - Děkuji za upozornění)

nyní je třeba vypočítat: ,,,








...


výpočet je to sice pracný, ale je podle mě lepší než výpočet pomocí rozvoje daného sloupce nebo řádku proto, že ten už není moc vhodný pro determinanty stupně většího než 4.


Zpět ke Cramerovu pravidlu, Cramerovo pravidlo říká, že

vyjde -9
vyjde 3
vyjde 3
vyjde -3

řešením soustavy je tedy vektor: [-3,1,1,-1]

santic napsal(a):

Prosim, mam mensi dotaz ke Cramerovu pravidlu...

Je soustava "Cramerovsky resitelna" pokud hlavni determinant vyjde "nenulovy", determinant A1 taky, ale determinanty A2,A3 vyjdnou "nulove" a determinant A4 vyjde "-2" ...

Nejak se mi tam nelibi ty nuly... Priklad jeste nemam dopocten uplne (hodnoty jednotlivych promenych), jelikoz nevim zda ma smysl pocitat dale...

Dekuji, santic

pokud je nektera neznama rovna nule - a to se muze stat - tak prislusny deteminant je taky nula. Takze nevadi, pocitejte dal. Hlavne nesmi byt nula ten determinant matice soustavy - jinak by se muselo pouzit zobecnene Cramerovo pravidlo.

↑ Saturday:

Pěkně vysvětleno, akorát jak se tak divám:

pokud máme matici ve trojúhelníkovém tvaru a vynásobíme členy na diagonále, dostaneme determinant matice) -> dostáváme -30

Nemá být náhodou součin členů na diagonále 1*1*(-10)*8 = -80 ?

↑ Gero:↑ jpa: Ano, je tam chyba, přidal jsem upozornění do příspěvku výše, děkuju za upozornění.