Matematické Fórum

Janka o_O · 12. 01. 2017 14:09

Ahojte :)

Mám nájsť bázu a dimenziu priestoru ortogonálneho k priestoru V.

Priestor V je určený takto:
1 0 1 0 1 0 /0
0 1 0 1 0 1 /0
2 2 2 2 2 2 /0
1 2 3 4 3 0 /0

Vedel by mi niekto pomôcť, prosím? Ďakujem. :)

Janka o_O · 12. 01. 2017 14:12

Vyeliminovala som si maticu a našla som vektory tak, aby som vytvorila bázu priestoru V.
Sú to tieto:
(1,-1,-1,1,0,0)
(0,0,-1,0,1,0)
(-1,-1,1,0,0,1)

Viem, že ortogonálny znamená, že v.u = 0

vanok · 12. 01. 2017 15:12

Ahoj ↑ Janka o_O:,
Ako bolo presne dane zadanie tvojho cvicenia?
Napisat rozsirenu matici moze representovat jeden system linearnych rovnic... ale to nestaci pochopit aky problem mas riesit,

Janka o_O · 12. 01. 2017 16:14

Ahoj, ↑ vanok: ,

Zadanie bolo:
a) Nech V = $S_{A}$ je priestor prisluchajúci matici A. Nájdite bázu a dimenziu priestoru V.

1 0 1 0 1 0
A = 0 1 0 1 0 1
2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 0

b) Nájdite bázu a dimenziu priestoru ortogonálneho k priestoru V a časti a).

Janka o_O · 12. 01. 2017 16:19

a) vyšla mi matica:

1 0 0 -1 0 1
0 1 0 1 0 1
0 0 1 1 1 -1

dim (v) = 3

Na doplnenie do bázy chýbajú tieto vektory:
1 -1 -1 1 0 0
0 0 -1 0 1 0
-1 -1 1 0 0 1

(dala som si za voľné premenné kanonickú bázu a dorátala)

vanok · 12. 01. 2017 16:47

Ahoj,
Vysvetli mi co presne znamena $S_A$ ( stlpce A???)
Tiez priestor prisluchacujici matici???

Lebo matica representuje Lin. zobrazenie z A do B...

Tie pojmy su z akych materialov?

Janka o_O · 12. 01. 2017 16:55

Priestor prisluchajúci matici .... to SA sa používa v našich skriptách :)

vanok · 12. 01. 2017 17:09 — Editoval vanok (12. 01. 2017 17:10)

↑ Janka o_O:,
Najdi presne definiciu.
Alebo posli tu PDF skrit. To ni je bezna definicia. Pokial neviem o co ide ako ti pomoct?

Janka o_O · 12. 01. 2017 17:25

↑ vanok:

Nechce mi zobrať fotku skrípt, tak to prepíšem ručne:
Definícia: Ak $A = (a_{ij})_{m,n}$ je matica nad poľom R, tak $S_{A}$ označíme najmenší vektorový podpriestor v $R^{n}$ obsahujúci riadky matice A, chápané ako prvky z $R^{n}$ .
Teda
$S_{A} = [(a_{11}, ...., a_{1n}), ... , (a_{i1}, ..., a_{in}), ... , (a_[{m1}, ..., a_{mn})]$ .

O $S_{A}$ hovoríme ako o vektorovom podpriestore (v $R^{n}$ ) patriacom k matici A.

vanok · 12. 01. 2017 17:56 — Editoval vanok (12. 01. 2017 18:00)

Tak tvoja odpoved je dobra... I ked v prvej costi si vytvkrila ortogonalnu bazu ( to vyzaduju od vas)

No vsak v ortogonalnom priestore tvoja baza nema prvy a druhy vektor ortogonalne medzi sebou...( ak to od vas nevyzaduju, tak to mas ok)...ale je ortogonalna s prvou.....

Poznamka.
Podla toho co si upresnila, nie je mi jasne, preco si napisala v prvkom prispevku rozsirenu maticu homogenneho systemu....

Janka o_O · 12. 01. 2017 18:22

↑ vanok:

Takže stačilo doplniť vektory, aby sme získali bázu a to už automaticky bude ortogonálne k pôvodnej matici?
Veď keď doplním vektory na bázu, tak budem mať ešte len bázu, ktorú chcú v časti a). Či? A ako potom zistiť tú bázu pre časť príkladu b)?

Tie nuly v prvom príklade boli preklep, všimla som si to až teraz, prepáč. :(

vanok · 12. 01. 2017 18:56

Nie tie nove du vsetko orthogonalne z povodnou.
To som neoveril, ci prve tri vektory su skutocne v povodnom priestore.
Overit som iba, ze tie posledne tri tri du ortogonalne z tromi, ktore maju tvorit povovodnu bazu.

Aku metodu si pouzila?

Janka o_O · 12. 01. 2017 18:59

↑ vanok:

jáj, lebo ja som doplnila tie prvé vektory na bázu, teda k tým trom som pridala ďalšie 3 tak, aby tých 6 tvorilo celý ten priestor V, teda boli bázou toho priestoru.
Urobila som to tak, že po eliminácii som si doplnila za voľné premenné kanonickú bázu.

Janka o_O · 12. 01. 2017 19:23

↑ vanok:

aha, jasné ...tie tri sú bázou priestoru (teda dim V bude 3, lebo sú 3 voľné premenné)

a ak doplním v tým 3 vektorom tie moje ďalšie 3 vektory, vytvorím pristor, kt. je ortogonálny ..... a teda v ortogonálnej báze bude 6 vektorov (a keďže sme v 6-rozmernom priestore a máme 6 LN vektorov teda nie sú žiadne voľné premenné, tak dimenzia ortog. priestoru bude 0)

TAK?

vanok · 12. 01. 2017 19:59

Ano ↑ Janka o_O:, ale v tvojom pripade mas jeden vektor druhy z bazy v tom ortogonalnom priestore nie je ortogonalny z inymi z tej bazy. Ale ak ju z ortoganalizujes (Gram-Schmidt, napr.) tak ano.

No zda sa, ze si pochopila pojem dimenzie....to je pozitivne.

Janka o_O · 12. 01. 2017 20:11

↑ vanok:

Aha, jasné .... rozumiem tomu, vďaka :)

Dimenziu som pochopila už pred pár dňami. Veď už bolo na čase. :D :D

Matematické Fórum

#1 12. 01. 2017 14:09

ortogonalny priestor

#2 12. 01. 2017 14:12

Re: ortogonalny priestor

#3 12. 01. 2017 15:12

Re: ortogonalny priestor

#4 12. 01. 2017 16:14

Re: ortogonalny priestor

#5 12. 01. 2017 16:19

Re: ortogonalny priestor

#6 12. 01. 2017 16:47

Re: ortogonalny priestor

#7 12. 01. 2017 16:55

Re: ortogonalny priestor

#8 12. 01. 2017 17:09 — Editoval vanok (12. 01. 2017 17:10)

Re: ortogonalny priestor

#9 12. 01. 2017 17:25

Re: ortogonalny priestor

#10 12. 01. 2017 17:56 — Editoval vanok (12. 01. 2017 18:00)

Re: ortogonalny priestor

#11 12. 01. 2017 18:22

Re: ortogonalny priestor

#12 12. 01. 2017 18:56

Re: ortogonalny priestor

#13 12. 01. 2017 18:59

Re: ortogonalny priestor

#14 12. 01. 2017 19:23

Re: ortogonalny priestor

#15 12. 01. 2017 19:59

Re: ortogonalny priestor

#16 12. 01. 2017 20:11

Re: ortogonalny priestor

Zápatí