Matematické Fórum

lukelee36 · 21. 01. 2017 19:52

Zdravím potřeboval bych trochu popostrčit. Mám příklad :
$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{2^{nx}}{n^{2}}$

A mám určit obor bodové konvergence řad.
Dokázal jsem pomocí podílového i odmocninového kritéria určit konvergenci.

Podílové kritérium:
$\lim_{n\to\infty }\frac{\frac{2^{(n+1)x}}{(n+1)^{2}}}{\frac{2^{nx}}{n^{2}}}= \lim_{n\to\infty }\frac{2^{(n+1)x}}{(n+1)^{2}}*\frac{n^{2}}{2^{nx}}=\lim_{n\to\infty }\frac{n^{2}}{n^{2}+2n+1}*\frac{2^{(n+1)x}}{2^{nx}}=\lim_{n\to\infty }\frac{1}{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}}*2^{x}=2^{x}$

Ale v tomhle bodu nevím, jak určit ten obor hodnot.
Výsledek by měl být :
$[(-\infty ,0]]$

Děkuji za rady

Pritt · 21. 01. 2017 20:25

↑ lukelee36:

Tak jak zní přesně podílové kritérium? Musíš zjistit pro jaké x výraz $2^x$ splňuje, že podle podílového kritéria řada konverguje nebo diverguje.

lukelee36

Pritt napsal(a):
↑ lukelee36:

Tak jak zní přesně podílové kritérium? Musíš zjistit pro jaké x výraz $2^x$ splňuje, že podle podílového kritéria řada konverguje nebo diverguje.

Podle podílového kritéria:
$L=2^{x}$
$L<1$ Nekonverguje
$L>1$ Konverguje
$L=1$ Nelze určit podle tohoto kritéria

Ale ten obor netuším.

Pritt · 21. 01. 2017 20:36 — Editoval Pritt (21. 01. 2017 20:39)

↑ lukelee36:

Stačí řešit, kdy (pro jaké x)
$L<1$
$L>1$
$L=1$

:)

Akorát si to napsal přesně obráceně.

Pritt · 21. 01. 2017 21:02

↑ lukelee36:

Tak pro jaké $x \in \mathbb{R}$ se $L = 2^x = 1$ ?

lukelee36 · 21. 01. 2017 21:08

↑ Pritt:
Aha :D
Takže
je-li $L < 1$ tak to konverguje.
je-li $L > 1$ tak to diverguje.

V tom případě je to už jasný, já jsem nechápal pro má být výsledek od $[(-\infty ,0]]$ .
To jsem to vlastně vyřešil.

lukelee36 · 21. 01. 2017 21:09

↑ Pritt:
Pro $x=0$

Pritt · 21. 01. 2017 21:13 — Editoval Pritt (21. 01. 2017 21:14)

↑ lukelee36:

Ano, ale podílové kritérium ti pro $L = 1$ toho moc neřekne. Pokud $x = 0$ dosadíš do původní řady, zjistíš, jestli pro $x=0$ řada konverguje nebo diverguje.

No a takhle stejně zjisti, kdy $L < 1$ tedy kdy řada konverguje a to je tvůj hledaný obor konvergence.

lukelee36 · 21. 01. 2017 21:24

↑ Pritt:

Takže:
$L < 0$ Konverguje
$L > 0$ Diverguje
$L = 0$ Nemůže nastat

Jestli to tedy chápu, tak pro $x\in (-\infty ,0>$ ?
Protože pro $x=0$ není možné ?

Pritt · 21. 01. 2017 21:30

↑ lukelee36:

Dej pozor.

$L < 1$
$L > 1$
$L = 1$

A pro $x=0$ řada vypadá takto:

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}$

Ale tato řada konverguje, dá se to dokázat třeba podle integrálního kritéria. Dokonce je znám její součet je to $\frac{\pi^2}{6}$ pokud se nepletu.

To znamená, že i $x=0$ lze zahrnout do oboru konvergence. Proto tam je uzavřená závorka.

lukelee36 · 21. 01. 2017 21:40

↑ Pritt:
Rozumím, takže když budu řešit $x=0$ , tak musím dokázat integrálním kritériem, abych věděl, jak se to chová i v nule.

Děkuji takhle už to myslím chápu.

Pritt · 21. 01. 2017 21:49 — Editoval Pritt (21. 01. 2017 21:51)

↑ lukelee36:

U téhle řady konkrétně ano. U jiných řad to třeba integrálním kritériem nepůjde. :)

Jenom taková poznámka, aby si se příště nespletl jak je to s tím $L < > = 1$

Pokud by $L = \lim_{n \to +\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ bylo větší než jedna, tak to znamená, že posloupnost $(a_n)$ je rostoucí (protože $a_n > 0$ ), což znamená, že je porušena nutná podmínka konvergence řady. Tzn. že řada diverguje. Takto se to dá zapamatovat a neuděláš v tom chybu.

lukelee36 · 21. 01. 2017 21:52

↑ Pritt:

Budu na to pamatovat.
Děkuji

Matematické Fórum

#1 21. 01. 2017 19:52

Řady funkcí, mocninné řady - obor bodové konvergence

#2 21. 01. 2017 20:25

Re: Řady funkcí, mocninné řady - obor bodové konvergence

#3 21. 01. 2017 20:33 — Editoval lukelee36 (21. 01. 2017 20:34)

Re: Řady funkcí, mocninné řady - obor bodové konvergence

Pritt napsal(a):

#4 21. 01. 2017 20:36 — Editoval Pritt (21. 01. 2017 20:39)

Re: Řady funkcí, mocninné řady - obor bodové konvergence

#5 21. 01. 2017 21:02

Re: Řady funkcí, mocninné řady - obor bodové konvergence

#6 21. 01. 2017 21:08

Re: Řady funkcí, mocninné řady - obor bodové konvergence

#7 21. 01. 2017 21:09

Re: Řady funkcí, mocninné řady - obor bodové konvergence

#8 21. 01. 2017 21:13 — Editoval Pritt (21. 01. 2017 21:14)

Re: Řady funkcí, mocninné řady - obor bodové konvergence

#9 21. 01. 2017 21:24

Re: Řady funkcí, mocninné řady - obor bodové konvergence

#10 21. 01. 2017 21:30

Re: Řady funkcí, mocninné řady - obor bodové konvergence

#11 21. 01. 2017 21:40

Re: Řady funkcí, mocninné řady - obor bodové konvergence

#12 21. 01. 2017 21:49 — Editoval Pritt (21. 01. 2017 21:51)

Re: Řady funkcí, mocninné řady - obor bodové konvergence

#13 21. 01. 2017 21:52

Re: Řady funkcí, mocninné řady - obor bodové konvergence

Zápatí