Matematické Fórum

slender

Ahoj,
řeším následující úlohu:

Mám teorii $T=\{(\neg p\wedge r)\rightarrow \neg q, p\rightarrow\neg(q\rightarrow r), q\vee r\}$ nad jazykem $L_T=\{p,q,r\}$ a teorii $S=\{p\rightarrow q\}$ nad jazykem $L_S=\{p, q\}$ . Mám ověřit, zda je $T$ extenzí $S$ , pokud ano, zda jde o konzervativní extenzi.

Pokud se nepletu, tak $T$ je extenzí $S$ , pokud $L_S\subseteq L_T$ a $\theta^{L_S}(S)\subseteq \theta^{L_T}(T)$ , kde $\theta^{X}(Y)$ je množina sentencí nad jazykem $X$ platných v teorii $Y$ .

Extenze je konzervativní, pokud $\theta^{L_S}(S)=\theta^{L_T}(T)\cap \text{Lm}_{L_S}$ .

Platnost $L_S\subseteq L_T$ je jasná, nevím však, jak ověřit $\theta^{L_S}(S)\subseteq \theta^{L_T}(T)$ .

Mohl byste mě někdo prosím postrčit správným směrem? Díky...

slender

Tak jakmile jsem odeslal dotaz, narazil jsem na větu, která říká, že $T$ je extenze $S$ právě tehdy, když $M(T)\subseteq M(S)$ , což už lze ukázat triviálně třeba tabulkou, ze které zjistíme, že $T$ je skutečně extenzí $S$ .

Pořád si ale nevím rady s ověřením konzervativnosti této extenze. Nějak by mi dávalo smysl, že stačí najít sentenci, která platí v jedné teorii a neplatí ve druhé, abych vyvrátil, že je to konzervativní extenze? A naopak, pokud chci ukázat, že jde o konzervativní extenzi, mohu jednoduše porovnat modely a pokud všechny modely $T$ jsou splněny i v $S$ , jde o konzervativní extenzi?

Konkrétně bych to řešil takto, tabulkou:
$\left.\begin{matrix} p & q & r\\ \hline 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}\right|\left.\begin{matrix} (p,q,r)\in M(T)\\ \hline 1\\ 1\\ 1\\ 1\\ 0\\ 0\\ 1\\ 1 \end{matrix}\right|\begin{matrix} (p,q)\in M(S)\\ \hline 1\\ 1\\ 1\\ 1\\ 0\\ 0\\ 1\\ 1 \end{matrix}$

Z té je vidět, že pokud model náleží $M(T)$ , pak jeho složky pro $p$ a $q$ tvoří model z $M(S)$ .

Jde to takto řešit? Jsou mé závěry správné? Existuje nějaký elegantnější způsob?

Matematické Fórum

#1 29. 01. 2017 16:43 — Editoval slender (29. 01. 2017 16:52)

Jak ověřím, zda je teorie T extenzí S

#2 29. 01. 2017 16:47 — Editoval slender (29. 01. 2017 17:13)

Re: Jak ověřím, zda je teorie T extenzí S

Zápatí