Matematické Fórum

Skrytý text:

Pokud budu předpokládat, že lze reálná čísla dobře uspořádat (tj. že platí axiom výběru) - v dalším tetu používejme toto uspořádání a nikoli běžné uspořádání reálných čísel - tak můžeme předpokládat, že množina předchůdců každého reálného čísla r má mohutnost .

Nyní se postupně pokusím (formálně asi transfinitní indukcí) postupně pro takto uspořádaná r sestrojit množinu tž v se pro všechna nabývá vzdálenosti s právě jednou - a případně se v nabývají další vzdálenosti - ovšem nejvýše jednou (tuto vlastnost popsanou v tomto odstavci nazvěme P).

Zkoumám-li tedy r a v nějaké předchozí se vzdálenost r nabývá, tak jsem s tímto r hotov, jinak se pokusím dosáhnout toho, aby platila výše uvedená vlastnost P množiny . Čeho musím dosáhnout:
1) Aby se nenabývala vícekrát některá již nabyvší vzdálenost
2) Aby nevznikla nová vzdálenost, která se nabyde více než jednou
3) Aby se r nenabyla více než jednou.

Myslím si, že "zakázaných" případů ve všech 3 bodech výše je a tedy naleznu interval o délce r, jehož krajní body přidám k dříve sestrojeným množinám - a tak získám .
(Např. bod 3 zajistím tím, že pro již umístěné body A,B vyloučím výběr bodu C tž ||A-C|-|B-C||=r a těch je pro každou dvojici A,B jen konečně a protože dvojic A,B je , tak i zakázaných bodů bude .)

Nezkoumal jsem, zda je nějaký problém s limitními kardinály, ale pokud ano, tak do předpokladů můžu přidat předpoklad platnosti hypotézky kontinua...