Matematické Fórum

PlusPlusPlus · 04. 04. 2017 19:58

Dobrý večer, řeším triviální problém - úpravu racionálního exponentu pro záporný argument.
Dle mého názoru by měla platit rovnice:
$\sqrt[3]{-8} = \left[{(-8)^2}\right]^{\frac{1}{6}} = \left[{(-8)^{\frac{1}{6}}}\right]^{2}$

Jednotlivé výrazy upravuji takto:
$\sqrt[3]{-8} = -2$
$\ \left[{(-8)^2}\right]^{\frac{1}{6}}= 64^{\frac{1}{6}} = +2$
$\ \left[{(-8)^{\frac{1}{6}}}\right]^{2}= \left[{(i)^{\frac{1}{3}}}*\sqrt{2}\right]^{2}=-2$

Žádám o kontrolu druhého výrazu. Vychází mě odlišný výsledek. Dle mých poznatků by měly být všechny tři výrazy ekvivalentní.

Děkuji
P.K.

Al1 · 04. 04. 2017 20:19 — Editoval Al1 (04. 04. 2017 20:20)

↑ PlusPlusPlus:

Zdravím,

platí:
Pro každé kladné reálné číslo a, pro každé celé číslo m, pro každé přirozené číslo n je $\sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}$

Takže $\sqrt[3]{-8}=-\sqrt[3]{8}=-8^{\frac{1}{3}}=-\left[{(8)^{\frac{1}{6}}}\right]^{2}$

PlusPlusPlus

Děkuji, to dává smysl, ale argument musí být kladný:
$\sqrt[3]{-8}=-\sqrt[3]{8}=-8^{\frac{1}{3}}=-\left[{(8)^{\frac{1}{6}}}\right]^{2}$
$\sqrt[4]{-2}\neq-\sqrt[4]{2}$

Al1 · 04. 04. 2017 21:12 — Editoval Al1 (05. 04. 2017 08:53)

↑ PlusPlusPlus:

$\sqrt[3]{-8}, \sqrt[4]{-2}$ to je problém odmocnin. n- tá odmocnina je definována pomocí n-té mocniny takto:

Pro libovolné $n\in \mathbb{N}$ definujeme n-tou odmocninu z nezáporného reálného čísla a jako nezáporné reálné číslo b, pro které platí ${\displaystyle b={\sqrt[{n}]{a}}}.$

Tedy existuje sudá odmocnina z kladného reálného čísla, ale ne ze záporného. A existuje lichá odmocnina z kladného čísla.

Pokud a je nezáporné číslo, k je přirozené číslo nebo nula a n je ve tvaru n=2 k + 1 (tedy je to liché číslo), pak platí: ${\sqrt[ {n}]{-a}}=-{\sqrt[ {n}]{a}}$

Můžeš také využít invezní funkci k funkci n-tá mocnina s přirozeným exponentem a s rozlišeným, zda je exponent sudé nebo liché přirozené číslo.

Edit: Nikde nehovořím o tom, že kladné číslo je záporné.

PlusPlusPlus · 04. 04. 2017 22:49

↑↑ Al1:

Ahoj,

Hele, definici lze jistě rozšířit pro lichou odmocninu ze záporného čísla. Je matoucí nazývat záporná čísla kladnými.
Zapsal bych to takto:
$\forall n\in \mathbb{N}_{0} \wedge \exists k\in\mathbb{N} \wedge k=2n+1 \wedge \forall a \in R^{-}_{0} \wedge \sqrt[k]{a}= -\sqrt[k]{|a|}$ , z toho plyne právě $\sqrt[3]{-8}=-\sqrt[3]{|-8|}=-\sqrt[3]{8}$

Dík za rady.
P.K.

misaH · 04. 04. 2017 23:14 — Editoval misaH (04. 04. 2017 23:25)

↑ PlusPlusPlus:

No a čo?

Niekde sa záporné číslo nazýva kladným?

PlusPlusPlus

↑↑ misaH:

Ahoj,
vždycky si vzpomenu na komika Holzmana a jeho odpověď na otázku: "A kolikpak mu je roků?" F.H. "Za půl roku mu bude tři a půl roku".
Takže ano, i toto je správná odpověď.
Já to spíše vnímám tak, že každé záporné číslo $\ \forall a \in R^{-}_{0}$ , lze převést na kladný výraz, identitu: $\forall a \in R^{-}_{0} \wedge a = i^2|a|$ , není tedy nutné přeskakovat do jiného definičního oboru

a dále $\forall (b,c \in R) \wedge \forall a \in R^{-}_{0} \wedge \sqrt[b]{a^c} = \sqrt[b]{(i^2|a|)^c}= {i^{\frac{2c}{b}}} {|a|^{\frac{c}{b}}}$

P.K.

PlusPlusPlus · 05. 04. 2017 21:05

Téma bych rád uzavřel, takže dokončím můj problém.

Pokud bude b,c liché, tedy $b=2k+1 \wedge \forall k\in \mathbb{N}_{0} \wedge c=2n+1 \wedge \forall n\in \mathbb{N}_{0}$ , můžu substituovat:
$\sqrt[b]{a^c} = \sqrt[{2k+1}]{a^{2n+1}} = \sqrt[{2k+1}]{(i^2|a|)^{2n+1}}= {i^{\frac{2(2n+1)}{2k+1}}} {|a|^{\frac{2n+1}{2k+1}}} = {\sqrt[{2k+1}]{-1} * |a|^{\frac{2n+1}{2k+1}}}= (-1) * |a|^{\frac{2n+1}{2k+1}}$

Nyní volím $n=0 \Rightarrow c=1$ , tedy:
$\sqrt[b]{a} = \sqrt[{2k+1}]{a} = \sqrt[{2k+1}]{i^2|a|}= {i^{\frac{2}{2k+1}}} {|a|^{\frac{1}{2k+1}}} = {\sqrt[{2k+1}]{-1} * |a|^{\frac{1}{2k+1}}}= (-1) * |a|^{\frac{1}{2k+1}}$

můžu tedy zřejmě psát: ${i^{\frac{2}{2k+1}}} {|a|^{\frac{1}{2k+1}}} = {(-1)^{\frac{1}{2k+1}}} {|a|^{\frac{1}{2k+1}}} = {a^{\frac{1}{2k+1}}}$

Nechápu proč vychází $\lim_{k\to\infty } \left( {a^{\frac{1}{2k+1}}} \right) = -1 = a^ { \lim_{k\to\infty } \left( {{\frac{1}{2k+1}}} \right) } = a^0$ , když má vyjít pro každé záporné $a^0 =1$

Po zadání do Maximy a Wolframu to píše shodně výsledek 1. Je to zřejmě způsobené naprogramovanými axiomy. Pokud ručně zadávám x jako konečná čísla, tyto postupně zvyšuji, konverguje výsledek k mínus jedničce.
Link je tady: https://uloz.to/!F9rCnzQdpveX/maxima-jpg

Dokázal by mě někdo říci, proč tomu tak je ??

Dík

Pavel · 05. 04. 2017 22:38

↑ PlusPlusPlus:

Jak jste přišel na to, že pro $a<0$ platí

$\lim_{k\to\infty } \left( {a^{\frac{1}{2k+1}}} \right) = a^ { \lim_{k\to\infty } \left( {{\frac{1}{2k+1}}} \right) }$

PlusPlusPlus

↑↑ Pavel:

Zdravím Vás,
Limitu počítám alternativně takto:
$\lim_{k\to\infty } \left( {a^{\frac{1}{2k+1}}} \right) = \lim_{k\to\infty } (-1) * \lim_{k\to\infty } \left( {|a|^{\frac{1}{2k+1}}} \right) = (-1) * \lim_{k\to\infty } e^ { \frac{1}{2k+1} * ln(|a|) }=(-1) * exp (\lim_{k\to\infty } \frac{1}{2k+1} * ln(|a|))=$
$= (-1) * e^0 = -1$

Hm, tato metoda výpočtu nepřináší odpověď na Vaši otázku. Popřemýšlím o tom.
P.

Lze uvažovat takto?
Předpokládejme, že máme v exponentu nějakou funkci $f(x)$ , která má limitu $f(x)=L$ . Dále uvažujme nějaký základ exponenciální funkce, který neobsahuje proměnnou $x$ . Nazvěme ho základ $a$ .
Pro $a>0$ :
$\lim_{x \to x0 } a^{f(x)} = \lim_{x \to x0 } e^{f(x)*ln(a)} = exp (\lim_{x \to x0 } {f(x)}*ln(a)) = exp(\lim_{x \to x0 } {f(x)}*\lim_{x \to x0 } {ln(a)}) =$
$= exp(ln(a)*\lim_{x \to x0 } {f(x)})=a^{\lim_{x \to x0 } {f(x)}}$
Pro $a<0$ stejným postupem docílím.
$\lim_{x \to x0 } ((-1)*|a|)^{f(x)} = \lim_{x \to x0 } (-1)^{f(x)} * |a|^{\lim_{x \to x0 } {f(x)}}$
Odpověď - nevím jak dokázat obecně známými metodami tvrzení pro $a<0$

PlusPlusPlus

Můžu na to jít ale hrubou silou.
Postupně porovnávám posloupnost limit se zvyšujícím se posloupným číslem $n$ , limitu $\lim_{k\to n} \left( {a^{\frac{1}{2k+1}}} \right)$ s limitou $\lim_{k\to n+1} \left( {a^{\frac{1}{2k+1}}} \right)$ .
Pozoruju, že se mění pouze jmenovatel exponentu aritmetickou řadou s diferencí 2. Se zvyšujícím posloupným číslem se exponent přibližuje nule.

$\lim_{k\to 1} \left( {a^{\frac{1}{2k+1}}} \right) =a^{\frac{1}{3}}$ , $\lim_{k\to 2} \left( {a^{\frac{1}{2k+1}}} \right) =a^{\frac{1}{5}}$ , $\lim_{k\to 3} \left( {a^{\frac{1}{2k+1}}} \right) =a^{\frac{1}{7}}$ , $\lim_{k\to 4} \left( {a^{\frac{1}{2k+1}}} \right) =a^{\frac{1}{9}}$ ,. . .
. . ., $\lim_{k\to n} \left( {a^{\frac{1}{2k+1}}} \right) =a^{\frac{1}{2n+1}}$ , $\lim_{k\to n+1} \left( {a^{\frac{1}{2k+1}}} \right) =a^{\frac{1}{2n+3}}$ , . . . , $\lim_{k\to\inf} \left( {a^{\frac{1}{2k+1}}} \right) = a^0$
Závěr: $\ \forall a \in R^{-}_{0}$ , $\lim_{k\to\inf} \left( {a^{\frac{1}{2k+1}}} \right) = -1 = a^0$
Změním zadání, obdobným postupem dostávám:
$\lim_{k\to\inf} \left( {a^{\frac{2}{2k+1}}} \right) = +1 = a^0$ , $\lim_{k\to\inf} \left( {a^{\frac{1}{2k}}} \right) = a^0 = komplex. cislo$

Hele, domnívám se, že záporné číslo na nultou je neurčitý výraz, nikoliv jedna. Proč funguje tedy binomická věta?

Vysvětlení je v tzv. prázdném součinu - ten chrlí z libovolného výrazu vždy jedničku. Binomická věta obsahuje dva takové součiny:
$(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k }\prod_{p=1}^{n-k} (x) \prod_{r=1}^{k}(y)$
Tím chci říci, že je rozdíl například mezi $\prod_{p=1}^{0} (4 +p) = 1$ a $\prod_{p=0}^{0} (4 +p) = 4$
Proto obdobně: $\prod_{p=1}^{0} ((-6)^p) = 1$ a $\prod_{p=0}^{0} ((-6)^p) = (-6)^0 = neurcity vyraz$

Binomickou větu lze přepsat i do tvaru bez neurčitého výrazu pomocí absolutních hodnot a chytré jedničky:
$(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k } *( (i)^{(3+x/|x|)})^{n+2-k} * ( (i)^{(3+y/|y|)})^{k+2} *\prod_{p=1}^{n-k} (|x|) \prod_{r=1}^{k}(|y|)$

Můj názor.
P.