Matematické Fórum

punkacz

Zdravim,

potřeboval bych pomoci s výpočtem druhé derivace tohoto výrazu: l*sin(x(t))+ b*sin(arctg((l*sin(x(t))/(a-l*cos(x(t))))); proměnné x v závislosti na t; např. wolfram alpha mi to spočte, ale už výraz dále neupraví. Díky za pomoc.

obrázek: //forum.matweb.cz/upload3/img/2017-04/94294_derivace.JPG

jelena · 13. 04. 2017 20:57

Zdravím,

možnosti:
a) podívat se na to, jak předpis funkce vznikl, zda by nešlo vyjádřit snadněji (tipuji, že jde od nějaké vztahy s využitím goniometrie pravoúhlých trojúhelníků),
b) nepracovat s "podrobným" zápisem, jak máš, ale třeba jen s $l\cdot \sin(x(t))+b\cdot \sin(g(x(t)))$ , derivovat jako složené funkce a až na závěr doplnit derivace vnitřních funkcí,
c) zkusit použit na 2. část, kde je sin(arctg(...)) vzorec ze 3. řádku z tabulky, odvození je vidět v posledním řádku na trojúhelníku.

Podívej se na to tak, prosím.

misaH · 13. 04. 2017 20:59

↑ jelena:

Téma je

Pomoc s derivací za využití software

punkacz · 13. 04. 2017 21:38

↑ jelena:
Skutečně jde o vztahy za využití trigonometrie. Konkrétně se jedná o zdvihovou funkci pětičlenného mechanismu vačky. Hledám rychlost a zrychlení členu 5 vůči rámu 1 a to tak, že tuto funkci zderivuji podle času. Problém je v tom, že se jedná o funkci složenou. Skutečně se mi to nechce řešit ručně, myslel jsem si spíš, jestli někdo neovládá software, který to dovede a zároveň výraz nezjednoduší, protože s ním potřebuji dále pracovat.

jelena · 13. 04. 2017 22:18

↑ punkacz:

děkuji za upřesnění. Předpokládám strojové využití (ne ruční), ale pokud se i WA předloží upravený výraz, tak je větší naději, že něco použitelného vzejde. Pokud jsem dobře upravila po použití vzorce z bodu c), potom máme WA, předpokládám, že podmínky umožní odmocnění a krácení (můžeme doplnit pro pořádek), potom derivujeme výraz v odkazu. Což sice dává o něco přehlednější výsledek, ale pořád to není na další práci (i když možná by šla ještě použit substituce pro jmenovatel). Úplně poslední alternate form pro kladné hodnoty parametrů a t dává alespoň součinový tvar.

Pokud máš náhled na geometrii, přidej, prosím (výraz v jmenovateli totiž dává kosinovou větu pro obecný trojúhelník, třeba by se něco ještě našlo na usnadnění).

punkacz · 14. 04. 2017 09:11

Děkuji, s tímto výrazem je již reálnější pracovat, něž v předchozím případě. Dále zasílám schéma mechanismu. $\varphi _{2}$ je počáteční sklon který se pohybuje od $0^\circ -360^\circ$ . $\varphi _{4}$ je funkcí $\varphi _{2}$ tedy $\varphi _{4}(\varphi_{2})$ . Rameno y se posouvá v objímce, nemá konstatní délku. Dáno: $l_{2},l_{3},a,\varphi _{2}$
Schéma mechanismu:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-04/53807_mechanismus_schema.JPG

jelena · 14. 04. 2017 11:42

↑ punkacz:

děkuji, jak máš napsáno vyjádření $y$ z kosinové věty, v tom se shodujeme. $\sin \varphi_4$ bych vyjádřila ze sinové věty pro trojúhelník $yl_2a$ , tedy $\frac{l_2}{\sin \varphi_4}=\frac{y}{\sin \varphi_2}$ , pokud $y=\sqrt{a^2+l^2_2-2al_2\cos \varphi_2}$ , dojdeme k $\sin \varphi_4=\frac{l_2\cdot \sin \varphi_2}{\sqrt{a^2+l^2_2-2al_2\cos \varphi_2}}$ .

Což vede k $y_{51}=l_2\sin \varphi_2+l_3\cdot \frac{l_2\cdot \sin \varphi_2}{\sqrt{a^2+l^2_2-2al_2\cos \varphi_2}}$

Tedy, jestli správně chápeme možnost pohybu (rameno $y$ se pohybuje v objímce, objímka má možnost rotačního pohybu okolo osy, co jde do monitoru), tak docházíme ke shodnému výsledku a k tomu, co jsme již dávali do WA. Jedině, k čemu snad ještě dotaz - na obrázku $y_{51}$ má zakresleno pevné uchycení. Ovšem podle našeho předpokladu $y_{51}$ jde z polohy $l_2$ svisle dolu až do polohy $l_2$ svisle nahoru (ve vertikálním směru). Má to pevné uchycení základny pro $y_{51}$ nějaký důvod? Na samotné vyjádření k lepšímu použitelnému tvaru to bohužel zatím nevidím. Dá se tedy pracovat s výrazem, který nabízí WA pro kladné hodnoty parametrů a t, nebo pořád je třeba úpravy (nebo spíš jiného výstupu, např. hledání max, min, nebo řešení konkrétní rovnice, to by snad mohli ještě kolegové přispět)? Děkuji.

punkacz · 14. 04. 2017 19:13

↑ jelena:
Mockrát děkuji za pomoc, výraz se určitě zjednodušil a je reálnější s ním dále pracovat. Pokud jde o pevné uchycení zdvihu y51, tak s tebou souhlasím a je to nesmysl, opravím si to, každopádně ještě jednou díky :)

jelena · 16. 04. 2017 14:03

↑ punkacz:

děkuji, také za vysvětlení k y51. ještě by bylo dobré upřesnit, že volíme pouze kladnou hodnotu odmocniny $y=\sqrt{a^2+l^2_2-2al_2\cos \varphi_2}$ (nepíšeme $y=\pm \sqrt{a^2+l^2_2-2al_2\cos \varphi_2}$ ), jelikož pracujeme s geometrii, trojúhelníku, kde předpokládáme nezáporné rozměry. Pro protáčení v celém rozsahu $\varphi _{2}$ pro $0^\circ -360^\circ$ snad ještě uvažovat symetrii pro polohy v "dolní" polorovině. Ale na práci s vytvořeným předpisem funkce ve smyslu dalšího usnadnění to už vliv nemá, snad se již všechno podařilo dopočítat.

punkacz · 19. 04. 2017 16:23

↑ jelena:
A pokud budu dále chtít vytvořit například graf průběhu rychlosti nebo z rychlení v závislosti na čase od nuly do 360 stupnu, je nutné nějak uvažovat, v jakém kvadrantu je cosinus kladný a v jakém záporný??

jelena · 19. 04. 2017 22:50

↑ punkacz:

to se uváží "samo". Pokud budu brát nulovou polohu, kdy je rameno $l_2$ vodorovně nalevo (splývá s ramenem $a$ , $\varphi _{2}=0$ ], potom ve vyjádření délky $y=\sqrt{a^2+l^2_2-2al_2\cos \varphi_2}$ bude člen $2al_2\cos \varphi_2=2al_2$ a máme $y=\sqrt{a^2+l^2_2-2al_2}=|a-l_2|$ . S nárůstem $\varphi _{2}$ do $180^\circ$ (do pravé vodorovné polohy $l_2$ ) dostaneme maximální délku ramena $y=\sqrt{a^2+l^2_2+2al_2}=|a+l_2|$ . Atd. do $360^\circ$ . Vliv znaménka cosinu na hodnotu ramena $y$ je takto, předpokládám, vidět.

Znaménko $\sin \varphi_2$ má vliv na celý zápis $y_{51}=l_2\sin \varphi_2+l_3\cdot \frac{l_2\cdot \sin \varphi_2}{\sqrt{a^2+l^2_2-2al_2\cos \varphi_2}}$ (jde vytknout pro závorku, která bude kladná) a bude určovat polohu $y_{51}$ vůči nulové (pokud za nulovou považujeme vodorovný stav ramena $y$ , $l_2$ .

Stačí tak na doplnění vlivu znamének? Děkuji.