Matematické Fórum

Hax · 15. 04. 2017 16:41 — Editoval Hax (15. 04. 2017 16:42)

Zdravím,

Mám zadanou přímku y = a.x +b (znám a a b). Na ose x si zvolím libovolně velikou vzdálenost AB. Na danou vzdálenost se musí vměstnat n rovnoběžek, které mají zápornou směrnici a v první rovnoběžka protíná přímku v f(A) a osu X v bodě X1 druhá rovnoběžka protne přímku v f(X1) a vytvoří bod X2... tohle se opakuje n krát. Až poslední rovnoběžka protne osu X v bodě B.

Je možné nějak zjistit směrnice těchto rovnoběžek?

misaH · 15. 04. 2017 16:50

↑ Hax:

A n poznáš?

Hax · 15. 04. 2017 16:55

↑ misaH: Ano to si zvolím jaké chci. Podle N bude rovněž větší nebo menší směrnice rovnoběžek.

Eratosthenes · 16. 04. 2017 10:22

ahoj ↑ Hax:,

je to celé nějaké divné. Co je f?

misaH · 16. 04. 2017 12:07 — Editoval misaH (16. 04. 2017 12:07)

↑ Eratosthenes:

y=f(x) je tá priamka. f(A) je potom hodnota y pre x=A (myslí sa ixová hodnota bodu A).

Hax · 16. 04. 2017 12:11

↑ Eratosthenes:

Funkční hodnota v bodě. Na přímce y = ax + b.

misaH · 16. 04. 2017 12:14

↑ Hax:

Na tom je nepríjemné, že pri postupe od teba tie dieliky medzi A a B nie sú rovnaké.. :-(

Hax · 16. 04. 2017 12:26

↑ misaH:

Je to zapeklité z prvu mi to připadalo, že by to šlo vyřešit s podobností trojúhelníku jelikož všechny úhly rovnoběžek musí být stejné. Nicméně jsem se dostal do problému že jsem měl více neznámých než rovnic a na nové rovnice jsem nemohl přijít.

jelena · 16. 04. 2017 14:19

Zdravím,

↑ Hax: pokud si dobře představuji to, co popisuješ, potom by snad šlo využit geometrickou posloupnost (vepsané trojúhelníky jsou si podobné a něco mi říká, že geometrická posloupnost by platit měla). Potom by šlo použit vzorec pro součet $n$ členů posloupnosti pro úsečky, co odseknout rovnoběžky na délce |AB| (jsou 2 neznámé $a_1$ , $q$ ) a zároveň platí vztah mezi prvním pravoúhlým trojúhelníkem s odvěsnou vycházející z bodu A a posledním pravoúhlým trojúhelníkem, co dostrojíme "navíc" s odvěsnou vycházející z bodu B. Zde budeme uvažovat (n+1) členů a vztah mezi prvním a posledním členem (délky odvěsen známe), ze kterého najdeme $q$ a následně $a_1$ .
Tím je dán první pravoúhlý trojúhelník a tedy směrnice rovnoběžky, která tvoří odvěsnou.

Zkus si to, prosím, promyslet, zatím jsem si to jen náznakem načrtla (podstatné je potvrdit, že jde o geometrickou posloupnost). Jak vznikl problém? Děkuji.

Hax · 16. 04. 2017 14:48

↑ jelena:
Zdravím,

geometrická posloupnost to je zajimavý úhel pohledu.

Tento problém vznikl velmi jednoduše. Vymyslel jsem si ho nevím jestli ma řešení a ani nevím jak to dokázat (neumím matematické důkazy). Nicméně mi to přišla jako pěkná rekráční matematika.

Jsem si hral s geogebrou...

//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-04/46842_uloha.png

Takhle by to mělo vypadat pro n = 2 chtěl jsem to zobecnit na n.

Eratosthenes · 16. 04. 2017 19:29

↑ Hax:

takže pokud tomu dobře rozumím - zvolíš si A; B; n. Napálíš tam n rovnoběžek a potřebuješ vyjádřit jejich směrnici pomocí AB a n. Je to tak?

Hax · 16. 04. 2017 20:28

↑ Eratosthenes:

Ano přesně a rovněž znám funkci y = ax + b

Eratosthenes · 16. 04. 2017 22:06

↑ Hax:

V tom případě by to nemělo být příliš těžké. Stejně jako ↑ jelena: bych tam viděl geometrickou posloupnost, přesněji řečeno dvě:

První posloupnost má první člen (dle Tvého obrázku) a, n+1 člen je d. Odtud zjistíš q.

Druhá posloupnost je posloupnost n+1 úseček na ose x (popř. na zadané přímce), která má stejné q a známý součet (buď CD, anebo AB - podle toho kterou si vybereš). Odtud zjistíš velikosti příslušných úseček a zbytek už je zřejmý.

Hax · 16. 04. 2017 23:06

↑ Eratosthenes:

Díky,

Všem budu o tom přemýšlet.

misaH · 16. 04. 2017 23:08

↑ Hax:

Podľa geogebry ale nejde o geometrickú postupnosť.

Hax · 16. 04. 2017 23:16

↑ misaH:

Jak to myslíte?

misaH · 16. 04. 2017 23:18 — Editoval misaH (16. 04. 2017 23:19)

↑ Hax:

No zisťovala som to q, rovnobežiek mám spolu 5.

Neviem to sem dať, obrázok má 300 kb a tak sa sem nedá nahrať.

Hax · 16. 04. 2017 23:30

↑ misaH:

No to jsem to moc nepochopil, ale předpokládám že dojdu ke stejnému problémů jaký popisujete.

Nicméně jsem zjistil že geogebra není tak přesná a že rovnice budou lepší.

misaH · 16. 04. 2017 23:54

↑ Hax:

:-)

A kde geogebra berie údaje?

Ale jasné - tvoja vec.

jarrro · 17. 04. 2017 00:16 — Editoval jarrro (17. 04. 2017 00:18)

Geometrická je iba postupnosť funkčných hodnôt
Z podobnosti pravouhlých trojuholníkov je
$\frac{ax_m+b}{x_{m+1}-x_m}=\frac{ax_{m+1}+b}{x_{m+2}-x_{m+1}}$
Teda
$\frac{ax_{m+2}+b}{ax_{m+1}+b}=\frac{ax_{m+1}+b}{ax_{m}+b}$
Teda $x_m=\frac{cq^m-b}{a}$

jelena · 17. 04. 2017 09:07

Zdravím,

↑ jarrro: nejde ale tento Tvůj zápis $\frac{ax_m+b}{x_{m+1}-x_m}=\frac{ax_{m+1}+b}{x_{m+2}-x_{m+1}}$ přepsat na
$\frac{x_{m+2}-x_{m+1}}{x_{m+1}-x_m}=\frac{ax_{m+1}+b}{ax_{m}+b}=q$

tedy, že poměry funkčních hodnot a poměry délek úseček na ose x (v součtu dávají |AB|) jsou stejné a svou geometrickou posloupnost tvoří funkční hodnoty, další geometrickou posloupnost tvoří úsečky na ose x. Kvocient je stejný $q$ , první člen je ale jiný pro každou posloupnost. Viz ↑ příspěvek 9: a ↑ příspěvek 13: (akorát musím být důslednější v počtu členů - pokud je rovnoběžek $n$ , potom je úseček na AB $(n-1)$ , ale funkčních hodnot, využívaných pro posloupnost je $(n+1)$ ).

Jak to vidíš? Děkuji.

jarrro · 17. 04. 2017 09:35 — Editoval jarrro (17. 04. 2017 09:52)

$\frac{x_{m+2}-x_{m+1}}{x_{m+1}-x_m}=\frac{ax_{m+1}+b}{ax_{m}+b}=q$
Je pravda .
z toho dostaneme keď označíme
$y_m=ax_m+b\nl x_m=\frac{y_m-b}{a}$
$\frac{\frac{y_{m+2}-b}{a}-\frac{y_{m+1}-b}{a}}{\frac{y_{m+1}-b}{a}-\frac{y_m-b}{a}}=\frac{y_{m+1}}{y_{m}}=q$
Teda
$\frac{y_{m+2}-y_{m+1}}{y_{m+1}-y_m}=\frac{y_{m+1}}{y_m}\nl y_{m+2}=y_{m+1}+\frac{y_{m+1}$y_{m+1}-y_m$}{y_m}\nl \frac{y_{m+2}}{y_{m+1}}=\frac{y_{m+1}}{y_m}$
Dúfam, že nepíšem bludy.
P.S. Aha ja som troťo. geometrická je postupnosť dĺžok úsečiek vzniknutých na ose x daným delením. Ja som hľadal samotné body ktoré ako vidno geometrickú postupnosť netvoria.
Už som si myslel že mi šibe , ale každý mal pravdu

Eratosthenes

ahoj ↑ misaH:↑ jarrro:↑ Hax:,
nevím, co dělá geogebra, ani jsem nic nepočítal. Ale je zřejmé, že mezi osou x a přímkou y=ax+b musí "pracovat" stejnolehlost se středem S v průsečíku přímky s osou x a koeficientem q:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-04/17812_stejnolehlost.png

Takže poměr q musí fungovat úplně na všem: na červeno zeleně rozstříhané ose x, modro žlutě rozstříhané přímce y=ax+b, růžových kolmicích i na hnědých rovnoběžkách. Takže jde jen o to, zjistit to q ze zadaných bodů A, B, C, D a daného n.

misaH · 17. 04. 2017 10:36

↑ Eratosthenes:

:-)

Hax · 17. 04. 2017 10:45 — Editoval Hax (17. 04. 2017 10:46)

↑ Eratosthenes:

Zdravím,

Přesně o to se usiluje.

Matematické Fórum

#1 15. 04. 2017 16:41 — Editoval Hax (15. 04. 2017 16:42)

Rozdělení přímky zadaným počtem rovnobězek

#2 15. 04. 2017 16:50

Re: Rozdělení přímky zadaným počtem rovnobězek

#3 15. 04. 2017 16:55

Re: Rozdělení přímky zadaným počtem rovnobězek

#4 16. 04. 2017 10:22

Re: Rozdělení přímky zadaným počtem rovnobězek

#5 16. 04. 2017 12:07 — Editoval misaH (16. 04. 2017 12:07)

Re: Rozdělení přímky zadaným počtem rovnobězek

#6 16. 04. 2017 12:11

Re: Rozdělení přímky zadaným počtem rovnobězek

#7 16. 04. 2017 12:14

Re: Rozdělení přímky zadaným počtem rovnobězek

#8 16. 04. 2017 12:26

Re: Rozdělení přímky zadaným počtem rovnobězek

#9 16. 04. 2017 14:19

Re: Rozdělení přímky zadaným počtem rovnobězek

#10 16. 04. 2017 14:48

Re: Rozdělení přímky zadaným počtem rovnobězek

#11 16. 04. 2017 19:29

Re: Rozdělení přímky zadaným počtem rovnobězek

#12 16. 04. 2017 20:28

Re: Rozdělení přímky zadaným počtem rovnobězek

#13 16. 04. 2017 22:06

Re: Rozdělení přímky zadaným počtem rovnobězek

#14 16. 04. 2017 23:06

Re: Rozdělení přímky zadaným počtem rovnobězek

#15 16. 04. 2017 23:08

Re: Rozdělení přímky zadaným počtem rovnobězek

#16 16. 04. 2017 23:16

Re: Rozdělení přímky zadaným počtem rovnobězek

#17 16. 04. 2017 23:18 — Editoval misaH (16. 04. 2017 23:19)

Re: Rozdělení přímky zadaným počtem rovnobězek

#18 16. 04. 2017 23:30

Re: Rozdělení přímky zadaným počtem rovnobězek

#19 16. 04. 2017 23:54

Re: Rozdělení přímky zadaným počtem rovnobězek

#20 17. 04. 2017 00:16 — Editoval jarrro (17. 04. 2017 00:18)

Re: Rozdělení přímky zadaným počtem rovnobězek

#21 17. 04. 2017 09:07

Re: Rozdělení přímky zadaným počtem rovnobězek

#22 17. 04. 2017 09:35 — Editoval jarrro (17. 04. 2017 09:52)

Re: Rozdělení přímky zadaným počtem rovnobězek

#23 17. 04. 2017 10:34 — Editoval Eratosthenes (17. 04. 2017 10:38)

Re: Rozdělení přímky zadaným počtem rovnobězek

#24 17. 04. 2017 10:36

Re: Rozdělení přímky zadaným počtem rovnobězek

#25 17. 04. 2017 10:45 — Editoval Hax (17. 04. 2017 10:46)

Re: Rozdělení přímky zadaným počtem rovnobězek

Zápatí