Matematické Fórum

PlusPlusPlus

Ahoj,

měl bych jeden dotaz týkající se dokazování.

Chci dokázat, že pro nenulové záporné číslo $\forall a \in R^{-} \wedge a \ne 0,$ je $a^0 = 1$ . Pomocí limity, je mě to vcelku jasné.

Volím např: $\lim_{x\to\infty } a^{\frac{1}{x}} = \lim_{x\to0 } a^{x} = \lim_{x\to0 } (-1)^{x}*|a|^{x} = \lim_{x\to0 } (e)^{\pi ix}*|a|^{x}$

Nyní rozvinu do řady, první člen dám před řadu a vypočítám limitu :
$\lim_{x\to0} \left( 1+\sum_{n=1}^\infty \frac{(\pi ix)^n}{n!} \right) * \left( 1+\sum_{n=1}^\infty \frac{(ln|a|*x)^n}{n!} \right) = 1$

Nyní formuluju dotaz: Rozumím tomu dobře tak, že dokázat to jde pouze limity a infinitez. počtu, nebo existuje i jiný způsob?

Děkuji za reakci

P.K.

Al1 · 15. 04. 2017 21:03 — Editoval Al1 (15. 04. 2017 21:03)

↑ PlusPlusPlus:

Zdravím,

nepožaduješ důkaz pro nenulové záporné číslo a? Proč potom $a \in R^{-}_{0}$

PlusPlusPlus · 15. 04. 2017 21:40

↑↑ Al1:

Ahoj,
už jsem to opravil.

misaH · 15. 04. 2017 21:56

↑ PlusPlusPlus:

$\frac aa=a^{1-1}=a^0=1$

PlusPlusPlus · 15. 04. 2017 22:29

↑↑ misaH:

Ahoj,
Jak dokazuješ poslední rovnost? Myslím tím $a^0=1$ Na to se přesně ptám.

misaH · 15. 04. 2017 22:53

$\frac aa=a^{1-1}=a^0=1$

check_drummer · 15. 04. 2017 23:28

↑ PlusPlusPlus:
Ahoj, a co to znamená $a^0$ ? Abychom věděli co s tím, je nutno tento pojem definovat. A navrhuji definovat ho roven 1.

PlusPlusPlus · 15. 04. 2017 23:46

↑↑ misaH:
Ahoj,
tak to je pěkná ostuda hodna první třídy. Pořád koukám doprava, a ne úplně na levou stranu. Už mě z těch limit hrabe a používám je tam, kde nejsou potřeba. Děkuji. Dám si chvíli pauzu.
P.

check_drummer · 16. 04. 2017 15:06

Ahoj, slabina je dle mého v této rovnosti:

misaH napsal(a):
$\frac aa=a^{1-1}$

Jak to, že platí? (Ona platí, ale ukáže se, že $a^0$ je nutno definovat nikoli spočítat, tj. vlastně se uvidí, že téma řeší důkaz axiomu.)

PlusPlusPlus · 23. 04. 2017 14:25

↑ check_drummer:
Ahoj,
proč by se to nedalo spočítat? $\frac aa=1$

check_drummer · 23. 04. 2017 15:10

↑ PlusPlusPlus:
Ahoj, $\frac aa=1$ platí. Ovšem já psal jiný vztah - a sice $\frac aa=a^{1-1}$ - ten jak píšeu výše, také platí, ale k jeho důkazu je potřeba vědět, že $a^0 = 1$ - resp. jsem o tom přesvědčen.
Druhá věc je, jak rovněž píšu výše, že je v tomto vládně snaha zjistit, čemu se rovná $a^0$ , ale nikde není uvedeno, jak je $a^0$ definována. Pokud pojem není definován, těžko pro něj neco počítat...

PlusPlusPlus

↑ check_drummer:
Ahoj,
Jestli Tě to moc neobtěžuje, mohl by jsi svůj příspěvek více rozvinout? Tedy dost dobře nerozumím tomu, jestli se $a^0=1$ bere jako axiom, nebo se výraz nějak dokazuje? A jak?
Mě napadá důkaz pouze pomocí limity, to jsem psal již na začátku tohoto vlákna $\lim_{x\to0 } a^{x}$ . To však není univerzální, protože se dá napsat exponent tak, že půjde limitně k nule, ale výsledek limity bude -1. Potom by tu byl problém s identitou. Jednou je výsledek limity 1, podruhé -1. Pak by nebyl problém tvrdit o výraze $a^0$ cokoliv. Proto je nutné zavést definici, co je tím výrazem $a^0$ vlastně míněno.
Téma nechávám otevřené. Za Vaše názory předem děkuji.
P.

check_drummer · 25. 04. 2017 21:37

↑ PlusPlusPlus:
Ahoj, přesně tak, než chceš o nějakém pojmu něco tvrdit, musíš ho definovat. Na druhou stranu - je dobré si definici rozmyslet, aby zapadala do stávající koncepce. Např. pro m,n přirozená víme, že platí $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$ (to lze snadno dokázat indukcí) a pokud bychom chtěli aby tento vzorec platil i pro m,n celá, tak speciálně pro m=-n musí platit $a^{0}=a^{-n+n}=a^{-n}\cdot a^n=1$ . Pozor však, ten poslední sled rovností není důkaz, že $a^0=1$ , ale je to odůvodnění toho, že je rozumné definovat $a^0$ jako 1 (musíme předpokládat a nenulové).
Podobné postupy se často používají - Ty jsi ho vlastně také použil, kdy jsi $a^0$ chtěl dodefinovat pomocí limity, to je také celkem běžná praxe. Ale opakuji - není to důkaz, je to jen odůvodnění toho, že je rozumné ten nový pojem (výraz) definovat právě tak.

PlusPlusPlus · 26. 04. 2017 15:17

↑ check_drummer:

Rozumím tomu, dík za výklad.
P.

Matematické Fórum

#1 15. 04. 2017 20:53 — Editoval PlusPlusPlus (15. 04. 2017 21:38)

Způsob dokazování - číslo na nultou = 1

#2 15. 04. 2017 21:03 — Editoval Al1 (15. 04. 2017 21:03)

Re: Způsob dokazování - číslo na nultou = 1

#3 15. 04. 2017 21:40

Re: Způsob dokazování - číslo na nultou = 1

#4 15. 04. 2017 21:56

Re: Způsob dokazování - číslo na nultou = 1

#5 15. 04. 2017 22:29

Re: Způsob dokazování - číslo na nultou = 1

#6 15. 04. 2017 22:53

Re: Způsob dokazování - číslo na nultou = 1

#7 15. 04. 2017 23:28

Re: Způsob dokazování - číslo na nultou = 1

#8 15. 04. 2017 23:46

Re: Způsob dokazování - číslo na nultou = 1

#9 16. 04. 2017 15:06

Re: Způsob dokazování - číslo na nultou = 1

misaH napsal(a):

#10 23. 04. 2017 14:25

Re: Způsob dokazování - číslo na nultou = 1

#11 23. 04. 2017 15:10

Re: Způsob dokazování - číslo na nultou = 1

#12 23. 04. 2017 23:24 — Editoval PlusPlusPlus (23. 04. 2017 23:28)

Re: Způsob dokazování - číslo na nultou = 1

#13 25. 04. 2017 21:37

Re: Způsob dokazování - číslo na nultou = 1

#14 26. 04. 2017 15:17

Re: Způsob dokazování - číslo na nultou = 1

Zápatí