Matematické Fórum

Eratosthenes napsal(a):

Za prvé se vůbec nebavíme o tom, zda tvrzení a=b; pro neexistující a, b platí nebo neplatí. Bavíme se o tom, zda zápisy a=b; pro neexistující a, b mají smysl.

To právě ne, podle mě tazatel Cynic se v prvním příspěvku ptá, jak je to s platností toho výroku pro a,b která neexistují (nemají smysl). Ale ať mě případně opraví.
Jemu asi nejde jen o to, zda ten výrok má smysl, k čemu by mu to bylo? Jeho motivace je dle mého jeho platnost.

↑ Eratosthenes:
A jak definuješ neexistující objekt?

↑ check_drummer:

například

nebo



nebo





Možností je nekonečně mnoho

↑ Eratosthenes:
Takže si dáme trošku hlubši úvahy z logiky:

1) Já jsem se ptal na definici nikoli na příklady, ale asi by šlo ten pojem "neexistujícího prvku" nějak rozumně definovat. Jen by to byl asi metapojem a nikoli pojem, protože by v sobě nejspíš obsahoval spojení "existuje výrok ...". Ale to je celkem podružné.

2) (podstatný bod) Ty jsi ale nedokázal, že (ani jsi nedokázal Goldbachovu domněnku, pokud bychom ji položili místo ), dokázal jsi pouze platnost implikace . Abychom pochopili ten rozdíl, zkoumejme jak vypadají matematická tvrzení: Tvrzení říká, že platí nějaký výrok B za předpokladu A. Tedy chceme dokázat B (to je náš cíl) a můžeme k tomu využít platnost výroku A (předpoklad). Zpravidla se to provádí tak, že dokážeme implikaci a pak díky tomu, že A platí odvodíme na základě pravidel logiky (jde o tzv. pravidlo modus ponens), že platí B. Podstatným krokem je důkaz oné implikace, ale konečným cílem není dokázat tu implikaci, ale B. Je to drobná nuance a při méně formálních důkazech není ani zřejmá, protože tyto důkazy probíhají tak, že "vyjdeme od platného tvrzení A a logickými důsledky dospějeme k B". Ale např. v našem případě, kdy A je nepravdivé tvrzení, je ten rozdíl zcela fatální. Únikem z toho je definovat tu neexistenci nějak pozitivně - jako nějaké platné tvrzení - např. jako, že "pro všechna x neplatí T". Z takové definice se nám ovšem vytvrátí onen "prvek" (to ale souvisí s dalším bodem).
Poznámka: Pokud Ti to zdůvodnění s implikací nepřijde správné, tak ale trvám na tom, že je nutné danou vlastnost definovat nějak pozitivně, tj. jako nějaké tvrzení, které předpokládáme, že platí, pokud je daná vlastnost splněna.

3) Původní záměr tohoto vlákna se týkal konkrétních výrazů, o kterých chceme prohlásit, zda se (něčemu) rovnají nebo ne, tak definujme existenci nebo neexistenci takových výrazů. Např. si myslím, že by bylo možné definovat, že výraz v (to je právě nějaká konkrétní limita, apod.) existuje, právě když "existuje r takové, že r=v" (případně můžeme specifikovat i množinu, ze které r pochází, např. reálná čísla). A pak můžeme definovat, že v neexistuje právě když non(v existuje). A pomocí této ("pozitivní") definice již lze odvozovat další tvrzení týkající se výrazu v.

↑ jarrro:

Ahoj.

To je vtipný příklad.

Domnívám se, že dokud neexistuje konkretní definice (či jiná dohoda), co je to (objekt) ,
je symbol pouze proměnná a připadá mi, že dělat nad ní nějaké úvahy o existenci nemá
smysl.

Ale fundovaným logikem nejsem.

↑ Rumburak:
Ahoj, no ona je to pouze proměnná - ale s tím, že pro ni platí ta formule. Tím je dáno co to je. Ono obecně nemáš ani v teorii množin definováno co konkrétně je to množina - jen, že splňuje jisté axiomy.

↑ check_drummer:

>> A jak definuješ neexistující objekt?

Existující ani neexistující objekt nelze definovat. To, že nějaký objekt existuje nebo neexistuje je věta, která se nedefinuje, ale dokazuje, anebo vyvrací.

↑ Eratosthenes:
Je potřeba definovat, co to znamená, že má nějaký výraz smysl.

Vlastne som si až teraz uvedomil, že definíciu ↑ jarrro: splňujú všetky vlastné triedy teda to asi nie je to čo chceme.

↑ Eratosthenes:
k čemu pak Tvůj "složitý" důkaz? Měl jsi proměnnou a pro ni je gramaticky správná formule a tudíž dle definice má smysl.

↑ check_drummer:čiže platí

?

↑ Eratosthenes:
Ještě mě napadlo, že z Tvé arumentace by plynulo, že "a=a+1 => a je pěkně vybarvená proměnná" a tedy že "a je pěkně vybarvená proměnná" má smysl. (Nebo chceme-li používat jen konkrétní symboly jazyka, tak třeba volme výrok "a=====a".)