Matematické Fórum

Rozi · 23. 04. 2010 14:20

Ahoj,
nějak jsem se zasekla v příkladu, kdy mám obecně odvodit vzorec pro objem komolého kuželu užitím určitého integrálu. Je mi jasné, že mám počítat objem křivky rotující kolem osy x, ale nějak nemůžu dojít na žádný způsob, jak by mi vzorec vycházel.

Díky za jakoukoliv radu. :)

Doxxik · 23. 04. 2010 15:02 — Editoval Doxxik (24. 04. 2010 07:24)

nejdřív si ujasni, jaký útvar bude rotovat.
Zde jsem si dovolil takový malý obrázek.

Jak je na něm vidět (samozřejmě si rotující útvar můžeš dát i obráceně), budeš rotovat přímku, meze - spodní = 0, horní rovna výšce v. Rovnici přímky získáš buď z bodů R, A (obecnou) nebo (tak bych to udělal já) pomocí úhlů:

- z pravoúhlého trojúhelníku RBA užitím goniom. fcí získáš úhel BAR -> odečteš-li jej od 180° získáš úhel $\alpha$ , pro nějž platí: $tg(\alpha) = k$
- rovnice přímky tedy bude: $y = tg\alpha \cdot x + r$

stačí tedy integrovat: $\int_0^v (tg\alpha \cdot x + r) dx$

snad :)

dál zkus pokračovat sama..

edit: po výtce níže doplňuji ještě výpočet objemu (za pomocí daného integrálu): $V = \pi \cdot \int_0^v (tg\alpha \cdot x + r)^2 dx$

Rumburak

Jen pro pořádek: nepočítáme "objem křivky", ale objem komolého kužele.

Zadáme si, že R, r budou poloměry podstav (R > r > 0) , v > 0 bude výška tělesa (vzdálenost podstav).

Úvodní úvaha je správná, kuželovou plochu si představíme jako plošnou dráhu křivky rotující okolo osy x.

Co to bude za křivku a jakou bude mít rovnici ?

Čím budou určeny podstavy kužele (je zřejmé, že jsou kolmé k ose x) ?

Obě otázky je třeba zodpovědět tak, aby bylo dodrženo naše zadání. Pak už se jen dosadí do příslušného vzorce.

EDIT: Ale nepočítá se integrál $\int_0^v (tg\alpha \cdot x + r) dx$ od Doxxíka - tím se se počítá obsah vybarveného lichoběžníka).

Rozi · 23. 04. 2010 15:20

↑ Doxxik:

Děkuju. :)
Šla jsem na to podobně, jen jsem udělala chybku v postupu, ale díky tobě už jsem ji našla. Moc dík!

jelena · 24. 04. 2010 01:18 — Editoval jelena (24. 04. 2010 01:53)

Zdravím vás, příspěvek od Doxxika je velmi názorny, děkuji.

Ještě navazuji na poznámku váženého kolegy Rumburaka: vzorec pro využití určitého integralu pro výpočet objemu při rotaci plochy kolem osy x:

$V = \pi\int_a^b f^2(x)\mathrm{d}x = \pi\int_a^b y^2 \mathrm{d}x$ - kopírováno odsud.

Bylo by dobré překontrolovat celý postup, ať není nějaká nesrovnalost. V pořádku?

zdenek1 · 20. 06. 2011 09:35

↑ jelena:
Kontrola postupu
Větší poloměr označím $R$ , menší $r$ , výška $v$
přímka $y=ax+b$ , kde $a=\frac{r-R}v$ , $b=R$

$V=\pi\int\limits_0^v (ax+b)^2\text dx=\pi\int\limits_0^v (a^2x^2+2abx+b^2)\text dx=$
$V=\pi\left[\frac{a^2x^3}3+abx^2+b^2x\right]_0^v=\frac13\pi v\left(\left(\frac{r-R}v\right)^2v^2+3\frac{r-R}vRv+3R^2\right=)$
$V=\frac13\pi v(r^2-2rR+R^2+3rR-3R^2+3R^2)=\frac13\pi v(R^2+rR+r^2)$

Choosen · 01. 06. 2017 19:10

↑ zdenek1:Zdravím. A jak by se dal vzorec odvodit pomocí válcových (cylindrických) souřadnic?
Vím, že pro komolý kužel by to bylo takto
$0\le \varrho \le r ; 0\le \varphi \le 2\pi ; 0\le z\le h-\frac{h}{r}\varrho$ respektive, pokud by byl špičkou dolů, pak úprava $\frac{h}{r}\varrho \le z\le h$ + jakobián $J=\varrho$
A výsledný trojný integrál by vypadal buďto
$V=\int_{0}^{r}\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{h-\frac{r}{h}\varrho }1.\varrho.d_{z}d_{\varphi }d_{\varrho }$
respektive
$V=\int_{0}^{r}\int_{0}^{2\pi }\int_{\frac{h}{r}\varrho }^{h}\varrho }1.\varrho.d_{z}d_{\varphi }d_{\varrho }$

ALE, jak by trojný integrál vypadal pro komolý kužel??? Děkuji

misaH · 01. 06. 2017 21:25 — Editoval misaH (01. 06. 2017 21:26)

↑ Choosen:

No.

Reaguješ na dotaz spred šiestich rokov ktorý je naviac uzavretý.

Skús úlohu zadať samostatne, skôr si ju niekto a aj zdenek1 všimne.

misaH · 01. 06. 2017 21:28

A v texe si mal navyše zátvorku (asi)...

$V=\int_{0}^{r}\int_{0}^{2\pi }\int_{\frac{h}{r}\varrho }^{h}\varrho 1.\varrho.d_{z}d_{\varphi }d_{\varrho }$

Matematické Fórum

#1 23. 04. 2010 14:20

Odv. vzorce pro objem komolého kužele - určitý integrál

#2 23. 04. 2010 15:02 — Editoval Doxxik (24. 04. 2010 07:24)

Re: Odv. vzorce pro objem komolého kužele - určitý integrál

#3 23. 04. 2010 15:15 — Editoval Rumburak (23. 04. 2010 15:22)

Re: Odv. vzorce pro objem komolého kužele - určitý integrál

#4 23. 04. 2010 15:20

Re: Odv. vzorce pro objem komolého kužele - určitý integrál

#5 24. 04. 2010 01:18 — Editoval jelena (24. 04. 2010 01:53)

Re: Odv. vzorce pro objem komolého kužele - určitý integrál

#6 20. 06. 2011 09:35

Re: Odv. vzorce pro objem komolého kužele - určitý integrál

#7 01. 06. 2017 19:10

Re: Odv. vzorce pro objem komolého kužele - určitý integrál

#8 01. 06. 2017 21:25 — Editoval misaH (01. 06. 2017 21:26)

Re: Odv. vzorce pro objem komolého kužele - určitý integrál

#9 01. 06. 2017 21:28

Re: Odv. vzorce pro objem komolého kužele - určitý integrál

Zápatí