Matematické Fórum

aeliren

Zdravím, nedaří se mi formálně dokázat tohle tvrzení o neexistenci limity složené funkce v nevlastním bodě. Protože ho formuluju sama, je možné, že mi tam nějaký předpoklad chybí, ačkoliv si to nemyslím:
Nechť $f$ je funkce definovaná na nějakém okolí $U_1(+\infty)$ a nechť platí, že $\lim_{x\to +\infty}f(x)$ neexistuje. Dále nechť pro funkci $g$ platí, že je definovaná na množině ${M=\{y;\; y=f(x);\; x\in U_1(+\infty)\}}$ a není na této množině konstantní. Pak $\lim_{x\to+\infty}g(f(x))$ neexistuje.

Tipem bylo dokázat to pomocí Heineho definice limity a BC-podmínky. Z Heineho jsem dostala, že existuje posloupnost $x_n$ , $\lim{x_n}=+\infty$ taková, že posloupnost funkčních hodnot $f(x_n)$ má nejméně dva hromadné body.... Jestli to k něčemu je, nevím, protože tam jsem skončila a pokusy využít tohoto faktu pro $g(f)$ nikam nevedly.

jarrro · 13. 06. 2017 13:32

Tvrdenie neplatí napríklad si zober f aj g Dirichletovu fciu

aeliren

↑ jarrro: Není v tomhle případě porušena ta konstantnost? Vnitřní dirichletova má obor hodnot 0,1, na téhle množině vnější dirichletova má pouze hodnotu 1, tj. je konstantní... Či ne?

V každém případě mi jde především o elementární funkce, tj. o případy jako $y=\sin^2{x}$ a podobně. Pokud mi tam nějaký předpoklad chybí, doplním ho.

jarrro · 13. 06. 2017 13:54

Aha konštantnosť sa zakazuje na M to mi uniklo

Stýv · 13. 06. 2017 14:14

Co kdyz je $f$ prosta a $g=f^{-1}$ ?

aeliren

↑ Stýv: Pokud by f byla spojitá a prostá, tak už limitu mít musí.... Pro nespojité prosté si teď nejsem jistá, jak to mají s limitou. Pokud existuje prostá nespojitá, která nemá limitu, pak bych do předpokladů věty doplnila požadavek na spojitost vnitřní funkce.

Edit: Ok, tak nespojitá prostá funkce definovaná na intervalu $(K; \infty)$ limitu mít nemusí. Do předpokladů věty tedy zahrnuji spojitost pro $f$ na $U(+\infty)$

Stýv · 13. 06. 2017 20:36

Spojitost tě taky nezachrání. Máš tam užitečný postřeh:

posloupnost funkčních hodnot $f(x_n)$ má nejméně dva hromadné body

Pokud funkce g nabývá v těchto bodech stejnou hodnotu, tak ta limita může existovat. Nekonstantnost je hrozně slabá podmínka.

Matematické Fórum

#1 13. 06. 2017 12:51 — Editoval aeliren (13. 06. 2017 13:08)

Důkaz tvrzení o neexistenci limity složené funkce

#2 13. 06. 2017 13:32

Re: Důkaz tvrzení o neexistenci limity složené funkce

#3 13. 06. 2017 13:37 — Editoval aeliren (13. 06. 2017 13:50)

Re: Důkaz tvrzení o neexistenci limity složené funkce

#4 13. 06. 2017 13:54

Re: Důkaz tvrzení o neexistenci limity složené funkce

#5 13. 06. 2017 14:14

Re: Důkaz tvrzení o neexistenci limity složené funkce

#6 13. 06. 2017 14:30 — Editoval aeliren (13. 06. 2017 16:02)

Re: Důkaz tvrzení o neexistenci limity složené funkce

#7 13. 06. 2017 20:36

Re: Důkaz tvrzení o neexistenci limity složené funkce

Zápatí