Matematické Fórum

honza33 · 13. 05. 2009 09:56

Vůbec netuším, jak na tu to slovní úlohu, mohl by mi někdo poradit?

Z desky tvaru rovnoramenného trojúhelníku, jehož základna je a, výška k základně je v, má být vyříznuta obdélníková deska maximálního obsahu, přičemž jedna strana obdélníku je částí základny. Určete rozměry obdélníku.

Děkuji

Cheop · 13. 05. 2009 12:14 — Editoval Cheop (13. 05. 2009 12:50)

↑ honza33:
Obdélník bude mít rozměry:
$\frac a2\,;\,\frac v2$
Dle obrázku a z podobnosti trojúhelníku platí:

$\frac{a}{2v}=\frac{x}{2(v-y}\nlx=\frac{a(v-y)}{v}$
Má platit:
$x\cdot y\,\rightarrow\,\textrm{max}$
$\frac{a(v-y)y}{v}\,\rightarrow\,\textrm{max}$ rovnici derivujeme podle y a derivaci položíme rovnu 0 (dostaneme:
$\frac av(v-2y)=0\nly=\frac v2$ dopočítáme druhý rozměr:
$x=\frac{a(v-y)}{v}\nlx=\frac{a\left(v-\frac v2\right)}{v}\nlx=\frac a2$

Rozměry obdélníku budou:
$\frac a2\,;\,\frac v2$
Obsah obdélníku bude:
$S=x\cdot y=\frac{a\cdot v}{4}$ tj. 1/2 obsahu trojúhelníkové desky

musixx · 13. 05. 2009 12:26

Chces poradit, jak na to, a nejen znat vysledek. Jedna z moznych cest je tato:

Oznacme delku hrany obdelnika, ktera lezi v zakladne trojuhelnika, jako x a druhou jako y. Je jasne, ze kdyz bude x=0, tak y=v, kdyz bude x=a, tak y=0 a ze mezi x a y bude linearni vztah. Tedy $y=-\frac vax+v$ (primka v xy prochazejici body [a,0] a [0,v]). Obsah obdelnika je tedy $S=x\cdot\left(-\frac vax+v\right)=vx-\frac{vx^2}a$ . Vezneme S jako funkci x a najdeme extrem - treba pomoci derivace. Vyjde $x=\frac a2$ , odkud tez $y=\frac v2$ .

Cheop · 13. 05. 2009 12:36

↑ musixx:
Vidím, že jsi byl rychlejší.

Marian · 13. 05. 2009 14:02

↑ musixx:
Slovo "třeba", které jsi použil výše mi vnuklo jasnou informaci. Ten extrém v závěru se dá najít snadno vytknutím a doplněním na čtverec už na přelomu 8. a 9. třídy ZŠ.

honza33 · 14. 05. 2009 08:05

Ještě by mě zajímalo, zda jde výše uvedený postup výpočtu použít obecně u jakéhokoliv trojuhelníku, tzn i pokud není rovnoramenný.

musixx · 14. 05. 2009 09:21 — Editoval musixx (14. 05. 2009 10:26)

↑ honza33: Pak ovsem nestaci pro zadani trojuhlenika 'a' a 'v'. A abychom byli co nejbliz prvotni uloze, tak je treba vybrat hranu trojuhlenika, na ktere ma lezet jedna z hran obdelnika. Vztah mezi x a y (dle meho predchoziho znaceni) pak nejspis nebude linearni a to je vse.

EDIT:

Predpokladejme trojuhelnik popsan pomoci $a_1,a_2,v$ a chtejme jednu stranu obdelnika na strane "a". Z $x_1$ jde vyjadrit $y$ a z $y$ pak $x_2$ analogicky jako jsem udelal vyse. Pokud jsem se nespletl nekde ve vypoctu, tak odtud dostanes $S(x_1)=S_1+S_2=-\frac v{a_1}\left(1+\frac{a_2}{a_1}\right)x_1^2+v\left(1+\frac{a_2}{a_1}\right)x_1$ , kde se jiz snadno najde extrem atd. - pro hledani extremu dokonce staci pouzit funkci $\frac{S(x_1)}{1+\frac{a_2}{a_1}}$ (vlastne se mi nezda, ze nam tim vypadlo $a_2$ , takze uloha se zredukovala na nalezeni maximalniho $S_1$ bez znalosti "prave" casti trojuhlenika - propocitej si znova sam: postup je rozhodne dobre, mozna v tom $S(x_1)$ mam nekde chybku...

honza33 · 14. 05. 2009 18:52

Správné zadání je:
Z desky tvaru trojúhelníku, jehož základna je a, výška k základně je v, má být vyříznuta obdélníková deska maximálního obsahu, přičemž jedna strana obdélníku je částí základny. Určete rozměry obdélníku.

To slovo "rovnoramenného" jsem tam napsal omylem a opravdu jsou známy jen základna a a výška v :-(
Napadá někoho, jak to řešit?
Děkuji

mák · 14. 05. 2009 19:15

Pokud žádný úhel vycházející ze základny nebude tupý (větší jak 90˚), pak výpočet velikosti obdélníka v rovnoramenném trojúhelníku bude mít stejný výsledek jako v obecném trojúhelníku.

Matematické Fórum

#1 13. 05. 2009 09:56

Slovní úloha: obdélník maximálního obsahu vepsaný do trojuhelníku

#2 13. 05. 2009 12:14 — Editoval Cheop (13. 05. 2009 12:50)

Re: Slovní úloha: obdélník maximálního obsahu vepsaný do trojuhelníku

#3 13. 05. 2009 12:26

Re: Slovní úloha: obdélník maximálního obsahu vepsaný do trojuhelníku

#4 13. 05. 2009 12:36

Re: Slovní úloha: obdélník maximálního obsahu vepsaný do trojuhelníku

#5 13. 05. 2009 14:02

Re: Slovní úloha: obdélník maximálního obsahu vepsaný do trojuhelníku

#6 14. 05. 2009 08:05

Re: Slovní úloha: obdélník maximálního obsahu vepsaný do trojuhelníku

#7 14. 05. 2009 09:21 — Editoval musixx (14. 05. 2009 10:26)

Re: Slovní úloha: obdélník maximálního obsahu vepsaný do trojuhelníku

#8 14. 05. 2009 18:52

Re: Slovní úloha: obdélník maximálního obsahu vepsaný do trojuhelníku

#9 14. 05. 2009 19:15

Re: Slovní úloha: obdélník maximálního obsahu vepsaný do trojuhelníku

Zápatí