Matematické Fórum

comantelix

Dobrý den,
právě se učím integraci (V. Jarník Integrální počet I) a narazil jsem na cvičení u nichž bych se rád zeptal jak je řešit (z předcházejícího výkladu mi způsob není jasný).
Příklad:

$\int_{}^{}\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}$
K příkladu je nápověda doporučující vytknout
$\sqrt{1-x}$
v čitateli i jmenovateli a potom substituovat. V knize je i správný výsledek:
$\ln (1-\sqrt{1-x^{2}})+\sqrt{1-x^{2}}$

Zkoušel jsem rozklad na částečné zlomky, ale rozklad se mi zdá příliš dlouhý.

Rumburak · 03. 08. 2017 13:17

↑ comantelix:

Ahoj.

Ta nápopověda vytknout $\sqrt{1-x}$ vypadá nadějně. Kam Tě přivedla ?

comantelix

Přivedla mě jenom do kouta....
$\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}}=t, dx=\frac{4t}{(t^{2}+1)^{2}}dt$
potom:
$\int_{}^{}\frac{(t+1)}{(t-1)}*\frac{4t}{(t^{2}+1)^{2}}dt$

$\frac{4t^{2}+t}{(t+1)(t^{2}+1)^{2}}=\frac{4}{t-1}+\frac{-4t}{(t^{2}+1)^{2}}+\frac{-4t-4}{(t^{2}+1)}$
a dál už se mi výsledky odklání od správného řešení.

comantelix · 03. 08. 2017 14:02

Napadla mne ještě úprava na:
$\int_{}^{}\frac{\sqrt{1-x^{2}}-x+1}{\sqrt{1-x^{2}}+x-1}$

Rumburak

↑ comantelix:
Mně tam (aniž bych při tom ručil za bezchybnost) nezávisle vychází

$\int_{}^{}\frac{(t+1)}{(t-1)}\cdot\frac{-4t}{(t^{2}+1)^{2}} \d t$ .

Není problém zde ?

Poznámky:
1. Vedle vlastního výpočtu je také nutno určit intervaly (pro proměnnou $x$ ),
na nichž má integrace smysl. Zde to budou intervaly (-1, 0) , (0, 1).
2. Možná by stálo za to zkusit rozšířit původní zlomek jeho čitatelem.

comantelix · 03. 08. 2017 15:44

Především děkuji za pomoc. Jen bych si chtěl ujasnit kde vznikla moje chyba:
$\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}=t$
$\frac{1+x}{1-x}=t^{2}$
$1+x=t^{2}-x(t^{2})$
$x(1+t^{2})=t^{2}-1$ $x(1+t^{2})=t^{2}-1$
$x=(t^{2}-1)/(1+t^{2})$
$dx=\frac{2t[(t^{2}+1)-(t^{2}-1)]}{(t^{2}+1)^{2}}dt=\frac{4t}{(t^{2}+1)^{2}}dt$

misaH · 03. 08. 2017 19:35 — Editoval misaH (03. 08. 2017 19:37)

No - neviem.

Podľa mňa to máš dobre.

Ale toto
$\frac{4t^{2}+t}{(t+1)(t^{2}+1)^{2}}=\frac{4}{t-1}+\frac{-4t}{(t^{2}+1)^{2}}+\frac{-4t-4}{(t^{2}+1)}$

určite dobre nie je (ľavá strana). Pri t v čitateli chýba 4 a v menovateli má byť v zátvorke mínus. (ale možno len preklepy).

comantelix · 03. 08. 2017 20:35

↑ misaH:
Díky za odpověď a kontrolu. A ano jsou to překlepy - počítal jsem bez nich - přes to bez úspěchu.
KOREKCE (needituji pro případné další čtenáře vlákna):
$\frac{4t^{2}+4t}{(t-1)(t^{2}+1)^{2}}=\frac{4}{t-1}+\frac{-4t}{(t^{2}+1)^{2}}+\frac{-4t-4}{(t^{2}+1)}$

Taktéž jsem zkusil řešení přes Rumburakovu poznámku č.2, skončil jsem s:
$\int_{}^{}\frac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{x}$
což jsem nakonec upravil na:
$(\ln x)+2\dfrac{\ln\left(\left|\sqrt{1-x^2}-1\right|\right)-\ln\left(\sqrt{1-x^2}+1\right)}{2}+\sqrt{1-x^2}$
(přiznávám užití online kalkulátoru pro urychlení)

comantelix · 03. 08. 2017 21:46

Začíná se mi zdát pravděpodobné, že "správný výsledek" v knize je chybný (kniha je staršího vydání a chybí v ní opravenka).

Jj · 03. 08. 2017 22:10

↑ comantelix:

Zdravím. Řekl bych, že to na chybu nevypadá (lze ověřit derivací výsledku).

Jj · 03. 08. 2017 23:00 — Editoval Jj (03. 08. 2017 23:06)

↑ comantelix:

Ještě zkusím rozšířit integrand jmenovatelem zlomku:

$\int_{}^{}\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}\, dx = \cdots =\int \frac{x\,dx}{1-\sqrt{1-x^2}}$

a řekl bych, že po substituci

$\sqrt{1-x^2} = t\Rightarrow x^2 = 1-t^2 \Rightarrow x\, dx = - t\, dt$

už to dáte:

$\int \frac{t\,dt}{t-1}=\cdots$

comantelix · 04. 08. 2017 01:09

↑ Jj:
Mnohokrát děkuji, Vámi navržený způsob řešení fungoval. Jen mi nepřestává vrtat hlavou autorova (V. Jarník) nápověda vydělit čitatel i jmenovatel
$\sqrt{1-x}$
(příklad spadá do části věnované příkladům se substitucemi podobnými
$\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}}$
Vzhledem k tomu že integrace různými metodami (substituce X parciání zlomky) může vést k různým úpravám výsledku pokusím se zjistit zda můj výsledek není jen jinou úpravou autorova řešení.

Jj · 04. 08. 2017 08:22

↑ comantelix:

Ještě poznámka:

Nezapomínejte při zápisu výsledku integrace na integrační konstantu. Jednak se to "musí", jednak jsou výsledky integrace různými metodami správné, i když se liší o konstantní hodnotu (pokud se jejich rozdíl rovná nenulové konstantě).

comantelix · 04. 08. 2017 16:05

↑ Jj:
Integrační konstantu jsme zapomněl napsat protože derivaci a integraci se učím stylem samouka (napřed oproti gymnáziu) z knih. Autor knihy konstantu vynechává pro úsporu místa.

Zkusil jsem zkontrolovat svůj předcházející postup s parciálnímy zlomky a našel jsem chyby. Po správném rozkladu
$\frac{4t^{2}+4t}{(t-1)(t^{2}+1)^{2}}=\frac{2}{t-1}+\frac{4}{(t^{2}+1)^{2}}+\frac{-2t-2}{(t^{2}+1)}$
mi již integrace vyšla, jen tvar nesedí
$2\ln (\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}-1)-ln(\frac{1+x}{1-x}+1)+\sqrt{1-x^{2}}$

misaH · 04. 08. 2017 16:21

↑ comantelix:

Ak po bezchybnom zderivovaní je výsledok rovnaký ako zadanie, je správny.

Pozor na podmienky.

Jj · 04. 08. 2017 18:47

↑ comantelix:

Snad se nepletu - ale řekl bych, že výsledek se dá upravit na tvar uvedený tady ↑ comantelix:.

comantelix · 04. 08. 2017 20:17

↑ Jj:
Děkuji zapomněl jsem podělit logaritmy:
$u=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$
$2\ln (t-1) -\ln (t^{2}+1)=\ln (1-\frac{2t}{t^{2}+1})$
$\ln (1-\frac{2t}{t^{2}+1})=\ln (1-\frac{2\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}}{\frac{1+x}{1-x}+1})=\ln (1-\sqrt{1-x^{2}})$

Jj · 04. 08. 2017 20:38

↑ comantelix:

:-)

Matematické Fórum

#1 03. 08. 2017 12:31 — Editoval comantelix (03. 08. 2017 12:33)

integrace racionálních funkcí

#2 03. 08. 2017 13:17

Re: integrace racionálních funkcí

#3 03. 08. 2017 13:32 — Editoval comantelix (03. 08. 2017 13:46)

Re: integrace racionálních funkcí

#4 03. 08. 2017 14:02

Re: integrace racionálních funkcí

#5 03. 08. 2017 14:52 — Editoval Rumburak (03. 08. 2017 15:04)

Re: integrace racionálních funkcí

#6 03. 08. 2017 15:44

Re: integrace racionálních funkcí

#7 03. 08. 2017 19:35 — Editoval misaH (03. 08. 2017 19:37)

Re: integrace racionálních funkcí

#8 03. 08. 2017 20:35

Re: integrace racionálních funkcí

#9 03. 08. 2017 21:46

Re: integrace racionálních funkcí

#10 03. 08. 2017 22:10

Re: integrace racionálních funkcí

#11 03. 08. 2017 23:00 — Editoval Jj (03. 08. 2017 23:06)

Re: integrace racionálních funkcí

#12 04. 08. 2017 01:09

Re: integrace racionálních funkcí

#13 04. 08. 2017 08:22

Re: integrace racionálních funkcí

#14 04. 08. 2017 16:05

Re: integrace racionálních funkcí

#15 04. 08. 2017 16:21

Re: integrace racionálních funkcí

#16 04. 08. 2017 18:47

Re: integrace racionálních funkcí

#17 04. 08. 2017 20:17

Re: integrace racionálních funkcí

#18 04. 08. 2017 20:38

Re: integrace racionálních funkcí

Zápatí