Matematické Fórum

Davisek · 07. 08. 2017 12:21

Mějme matici A, určete hodnost matici v závislosti na parametru $\alpha \in R$

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \alpha \\ 1 & \alpha & 1 \\ \alpha & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}$

Potřeboval bych návod jak toto vyřešit, jednu lehči rovnici s parametrem se mi podařilo vyřešit, ale tady jsem se dostal do problemů.

Začal bych zaměnou 1. a 3. řádku

$A = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha \\ \end{pmatrix}$

Pak, potřebuji dostat po hlavni diagonálou 0, ale tam pravě se dostavam do problému,a nevím jak dál.

Děkuji za reakci :)

Rumburak

↑ Davisek:
Ahoj.
Do jakých problémů ses dostal ?

EDIT. Snad tuším. Máme tedy matici

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \alpha \\ 1 & \alpha & 1 \\ \alpha & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}$ .

Pořadí řádlků zatím ponechme, jak je, a první řádek odečtěme od druhého. Dostaneme matici

$A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \alpha \\ 0 & \alpha -1 & 1- \alpha \\ \alpha & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}$

mající tutéž hodnost jako matice $A$ .

Nyní v matici $A_1$ odečtěme $\alpha$ - násobek prvního řádku od třetího řádku. Vznikne matice

$A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \alpha \\ 0 & \alpha -1 & 1- \alpha \\ 0 & 1 -\alpha & 1 - \alpha^2\\ \end{pmatrix}$

opět téže hodnosti.

V matici $A_2$ přičtěme druhý řádek ke třetímu . Vznikne matice

$A_3 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \alpha \\ 0 & \alpha -1 & 1- \alpha \\ 0 & 0 & 2 - \alpha - \alpha^2) \\ \end{pmatrix}$

téže hodnosti. Z matice $A_3$ ji určíme snadno (v závislosti na $\alpha$ ), pokud víme,
o čem je řeč.

EDIT 2 . V kroku vedoucím k matici $A_3$ jsem ještě opravil numerickou chybu,
za niž se omlouvám.

Davisek · 07. 08. 2017 12:43

Vynásobil jsem, 1. řádek $(-1)$ a přičetl ke druhemu

$A = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1-\alpha & \alpha -1 & 0 \\ \alpha & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}$

Vynasobil jsem, 2. řádek $1$ a přičetl jsem ke 3.

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \alpha \\ 1-\alpha & \alpha -1 & 0 \\ 1 & \alpha & 1 \\ \end{pmatrix}$