Matematické Fórum

merunka

Ahoj, při použití gaussovské eliminace pro spočítání determinantu jsem udělala chybu a výsledný determinant je úplně jiný než by měl být

Už jsem to překontrolovala dvakrát, jednou ručně a jednou za použití online kalkulačky

Jsem si jistá že jsem použila pouze elementární úpravy, pomůžete mi prosím přijít na to proč mi to vychází špatně?

Znám alternativní řešení, ovšem matice je tak jednoduchá že si myslím že si vystačím bez použití zlomků. Se zlomky to zvládnu vždy

$\begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 & -3 \\ 5 & 1 & 3 & -4 \\ (1) & -1 & 7 & 2 \\ 3 & -5 & 2 & -1 \\ \end{vmatrix}$

Třetí řádek vyberu, jeho první číslo (zakroužkované) bude pivot. Přehodím třetí a první řádek. Zapamatuju si že výsledný determinant bude mít přehozené znaménko

$- \begin{vmatrix} 1 & -1 & 7 & 2 \\ 5 & 1 & 3 & -4 \\ 3 & 2 & 1 & -3 \\ 3 & -5 & 2 & -1 \\ \end{vmatrix}$

Vynuluju sloupec pod pivotem: Od druhého řádku odečtu 5-ti násobek prvního. Od třetího a čtvrtého odečtu 3-násobek:

$- \begin{vmatrix} 1 & -1 & 7 & 2 \\ 5-5 & 1+5 & 3-(5*7) & -4-10 \\ 3-3 & 2+3 & 1-21 & -3-6 \\ 3-3 & -5+3 & 2-21 & -1-6 \\ \end{vmatrix} \sim - \begin{vmatrix} 1 & -1 & 7 & 2 \\ 0 & 6 & -32 & -14 \\ 0 & 5 & -20 & -9 \\ 0 & -2 & -19 & -7 \\ \end{vmatrix}$

V druhém sloupci se mi nejeví žádný řádek jako vhodný kandidát pro pivota. Jedna možnost je odečíst od druhého řádku řádek třetí, ovšem to pak dostanu hnusná velká čísla a právě mi došlo že tohle asi bylo správné řešení, zkusím to:

$\sim - \begin{vmatrix} 1 & -1 & 7 & 2 \\ 0 & 1 & -12 & -5 \\ 0 & 5 & -20 & -9 \\ 0 & -2 & -19 & -7 \\ \end{vmatrix} \sim - \begin{vmatrix} 1 & -1 & 7 & 2 \\ 0 & 1 & -12 & -5 \\ 0 & 0 & 40 & 16 \\ 0 & 0 & -43 & -17 \\ \end{vmatrix}$

$\sim - \begin{vmatrix} 1 & -1 & 7 & 2 \\ 0 & 1 & -12 & -5 \\ 0 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ \end{vmatrix} \sim -(5/3) \begin{vmatrix} 1 & -1 & 7 & 2 \\ 0 & 1 & -12 & -5 \\ 0 & 0 & 15 & 6 \\ 0 & 0 & 15 & 5 \\ \end{vmatrix}$

$\sim -(5/3) \begin{vmatrix} (1) & -1 & 7 & 2 \\ 0 & (1) & -12 & -5 \\ 0 & 0 & (5) & 2 \\ 0 & 0 & 0 & (-1) \\ \end{vmatrix} =(-\frac{5}{3})(1*1*5*-1)=8,33\bar{3}$

Předešlé řešení si uvědomuji proč že není správné, co jsem udělala špatně tady?

EDIT:

Aha, to co jsem udělala s násobením třetího a čtvrtého řádku je blbost. Co teď? Mám pocit že to mám skoro správně

Kalkulačka mi napověděla že správná úprava v posledním kroku je

$\sim -8\cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 & 7 & 2 \\ 0 & 1 & -12 & -5 \\ 0 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ \end{vmatrix} \\ \sim -8\cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 & 7 & 2 \\ 0 & 1 & -12 & -5 \\ 0 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{5} \\ \end{vmatrix} \\ =(-8)\cdot(1\cdot 1\cdot 5\cdot -\frac{1}{5} ) \\ =(-8)\cdot(-1)=8$

Ale nevidím jak se tam dostalo to 8 krát, a proč ta úprava kterou jsem udělala předtím není správná

EDIT2: Myslím že jsem prostě špatně pochopila jak se řádkové úpravy projeví na determinantu
Předtím když jsem dělala jednodušší příklady tak mi to vždy vycházelo, ale asi to bylo jenom štěstí
Zkusím vyřešit nejdříve nějaký lehčí příklad a budu přitom mít otevřené ty pravidla pak se vrátím k tomuto

Správný det(A) = 8

LukasM · 05. 11. 2017 14:23

↑ merunka:
8 je tam proto, že jsi z řádku 40,16 udělala 5,2. Takže jsi determinant zmenšila osmkrát.

Úprava s pěti třetinami je špatně proto, že jsi dva řádky násobila, takže determinant tím stoupne patnáctkrát. Když už, musel by tam být zlomek $\frac{1}{15}$ .

Správný výsledek je, pokud dobře kontroluji -8, ne +8. Chybu budeš mít asi v tom, že po sečtení třetího a čtvrtého řádku bys dostala čísla -3 -1. Ty píšeš 3 1, takže opět změna znaménka.

Neprocházel jsem to detailně, mohl jsem něco přehlédnout nebo špatně pochopit.

merunka · 05. 11. 2017 14:25

Přesně! Děkuju :)

Jako vždy musím se naučit si všechno všechno rozepisovat jinak dělám blbé numerické chyby a další chyby z nepozornosti

vanok · 05. 11. 2017 15:46

Ahoj ↑ merunka:, pozri aj sem. Najdes zaujimave citanie.
http://forum.matweb.cz/viewtopic.ph … 94#p553794

merunka · 05. 11. 2017 15:47

Ano děkuju už jsem to viděla a dala plusík :)

Matematické Fórum

#1 05. 11. 2017 14:04 — Editoval merunka (05. 11. 2017 14:24)

Chyba při počítání determinantu (gaussovská eliminace)

#2 05. 11. 2017 14:23

Re: Chyba při počítání determinantu (gaussovská eliminace)

#3 05. 11. 2017 14:25

Re: Chyba při počítání determinantu (gaussovská eliminace)

#4 05. 11. 2017 15:46

Re: Chyba při počítání determinantu (gaussovská eliminace)

#5 05. 11. 2017 15:47

Re: Chyba při počítání determinantu (gaussovská eliminace)

Zápatí