Matematické Fórum

fyzikus13 · 11. 11. 2017 10:48

Dobrý deň nemám presné zadanie ,ale pri riešení domácej ma napadla taká otázka:
Ak sa bowlingová guľa zrazí pružne s nehybným stolom podľa zákona zachovania hybnosti a energie by sa jednoducho mala odraziť pod rovnakým uhlom ,pod akým narazila na stol (uhol dopadu a odrazu ku kolmici dopadu) a veľkosť jej rýchlosti by mala ostať nezmenená , vektor rýchlosti by mal mať rovnaký smer ako smer odrazu gule. Čo ale ak by sa guľa zrazila so stolom nepružne ,mňa napadlo také riešenie ,ale neviem či je správne:
Nech hmotnosť gule je $m_{1}$ a polomer gule je $r$ . Koeficient valivého trenia medzi guľou a stolom nech je $f$ . Označme si vektor rýchlosti gule $\vec{v}$ a veľkosť uhla dopadu (uhol ,ktorý zviera smer pohybu gule a teda aj $\vec{v}$ s kolmicou dopadu) ako $\alpha$ . Potom si rýchlosť gule $v$ vieme rozložiť do rýchlosti v smere x-ovej a y-ovej osi:
$v_{x}=v\sin \alpha$
$v_{y}=v\cos\alpha$
Pri zrážkach telies dochádza ku deformácii telies (vtedy sú telesá spojené). Pri pružnej zrážke je táto deformácia iba dočasná a telesá sa od seba oddelia ,pri nepružnej zrážke je ale táto deformácia trvalá a telesá sa ďalej pohybujú ako jedno teleso. Podľa mňa by sa zložka rýchlosti gule $v_{y}$ pri nepružnej zrážke mala stať nulovou (preto guľa neprerazí stol) a pre zložku $v_{x}$ by mal platiť zákon zachovania hybnosti a energie. Lenže teraz ma napadajú dva prípady :
1. Ak hmotnosť stola je $m_{2}$ a hmotnosť stola je porovnateľná s hmotnosťou gule (teda je večšia ,ale nie až tak veľmi) ,potom by mal platiť vzorec odvodený zo zákona zachovania hybnosti a kinetickej energie ,a teda ak je stol v pokoji tak výsledná rýchlosť gule v smere x-osi ,označme ju $u$ bude:
$u=\frac{m_{1}v_{x}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{m_{1}v\sin \alpha }{m_{1}+m_{2}}$
2. Ak by hmotnosť stola bola veľmi väčšia ako hmotnosť gule, vtedy neviem či by guľa zastala ,alebo ako by sa správala.

proton100

↑ fyzikus13: Dám iný príklad:

Do železničného vozňa ktorý stojí, narazí druhý vozeň ktorý ide rýchlosťou v. Pri náraze sa vozne spoja. Akou rýchlosťou idú spojené vozne? 1/2 v podľa zákona zachovania hybnosti, alebo 1/4 v podľa zákona zachovania energie?

fyzikus13 · 11. 11. 2017 15:26

Asi viem načo narážaš ,povedal som ,že vzorec ,ktorý sa používa na výpočet výslednej rýchlosti telesa pri nepružnej zrážke vyplýva zo zákona zachovania energie a hybnosti ,ale to som povedal asi zle ,lebo:
1.zákon zachovania hybnosti
$p_{1}+p_{2}=p_{3}$
$m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=(m_{1}+m_{2})v$
$v=\frac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{m_{1}v_{1}}{m_{1}+m_{2}}$
2.zákon zachovania kinetickej energie
$E_{k1}+E_{k2}=E_{k3}$
$\frac{1}{2}(m_{1}v_{1}^{2}+m_{2}v_{2}^{2})=\frac{1}{2}(m_{1}+m_{2})v^{2}$
$v=\sqrt{\frac{m_{1}v_{1}^{2}+m_{2}v_{2}^{2}}{m_{1}+m_{2}}}=\sqrt{\frac{m_{1}v_{1}^{2}}{m_{1}+m_{2}}}$
Tieto dva výsledky sa ,ale nerovnajú. To asi preto ,že teleso by sa malo pohybovať rýchlosťou ,ktorú sme dostali zo zákona zachovania hybnosti. Zo zákona zachovania energie dostaneme iný výsledok ,lebo dojde ku stratám energie telesa (sústavy) koli nepružnosti zrážky. Tieto straty energie sú potom asi rovné rozdielu výslednej kinetickej energie získanej zo
zákona zachovania kinetickej energie a kinetickej energie získanej zo zákona zachovania hybnosti:
$\Delta E=\frac{1}{2}[m_{1}v_{1}^{2}+m_{2}v_{2}^{2}-(m_{1}+m_{2})(\frac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}})^{2}]=\frac{m_{1}m_{2}(v_{1}-v_{2})^{2}}{2(m_{1}+m_{2})}$
Ďakujem za opravu a nevieš náhodou čim sú tieto straty energie sposobené?

edison · 11. 11. 2017 15:31

↑ proton100:
Pokud byly stejně těžké, tak podle energie i hybnosti vychází 1/2 a žádný problém s tím není.

↑ fyzikus13:
Při nepružné srážce se může část energie ztratit.

fyzikus13 · 11. 11. 2017 16:00

Počkať ,hovoríš ,že ak pri nepružnej zrážke vagónov majú oba vagóny rovnakú hmotnosť tak podľa zákona zachovania energie aj hybnosti dostaneš rovnakú výslednú rýchlosť nového vagónu? To my nejak nesedí. Sedí my to iba ak majú rovnakú rýchlosť aj hmotnosť.

edison · 11. 11. 2017 16:14

Vlastně ano, nesedí:-) Trochu jsem se do toho zamotal.

Podle hybnosti je rychlost poloviční. Tzn. každý vagón bude mít čtvrtinovou E, oba tedy polovinu.

Druhá polovina se ztratí na tom spojovacím zařízení.

fyzikus13 · 11. 11. 2017 16:46

Nevieš ,ale na čo presne sa spotrebuje tá stratená energia? Napadlo ma či ta strata energie nie je sposobená tým ,že pri nepružnej zrážke telies dochádza ku trvalej deformácii telies. Pri trvalej deformácii telies dojde ku deformácii ich vnútornej (časticovej) štruktúry. Ak si vnútornú štruktúru telesa predstavíme ako nejakú mriežku ,v ktorej sú častice pravidelne usporiadané ,tak pri deformácii dojde ku trvalému vychýleniu častíc z ich povodnej rovnovážnej polohy v mriežke. Na vychýlenie častíc je potrebné vykonať nejakú prácu ,ktorá sa rovná zmene kinetickej energie telies.

edison · 11. 11. 2017 17:34

Tak oho to nutně nemusí být trvalá deformace. Stačí aby se to převedlo na náhodný pohyb a vyzářilo jako teplo.

fyzikus13 · 11. 11. 2017 17:40

Aha ,ale nejaká časť energie sa stratí aj pri premiestnení častíc ?

edison · 11. 11. 2017 20:31

Velmi pravděpodobně se ve většině situací budou projevovat oba mechanizmy a podle okolností bude někdy dominovat jeden, jindy druhý a občas to asi bude i každej 50 %.

zdenek1 · 11. 11. 2017 20:32

↑ fyzikus13:
a) při nepružné srážce ZZE neplatí (nikdy), platí jen ZZH. Pokud budeme mluvit o makroskopických tělesech, které se dostanou do kontaktu "tělo na tělo", vždy dojde k nějaké deformaci a pokud je ta deformace nepružná, ztratí se při tom energie. A mimochodem, dokonale pružná srážka je jen model, nic takového v makrosvětě není. Všechny skutečné srážky jsou do určité míry nepružné (a ztrácí energii).
b) při přemísťování částic (například v plynu) naopak ZZE kupodivu platí (i při srážkách), takže plyn můžeme modelovat jako "srážky pružných koulí"
Je to proto, že molekuly se při srážkách ve skutečnosti nedotýkají, ale jsou odpuzovány elektrostatickými silami.

Zajímavé je, že urychlování kosmických sond planetami se řídí přesně zákony pro pružnou srážku. Zase, je to tím že se silové působení odehrává "na dálku" bez přímého kontaktu.

Matematické Fórum

#1 11. 11. 2017 10:48

nepružná zrážka bowlingovej gule so stolom

#2 11. 11. 2017 14:16 — Editoval proton100 (11. 11. 2017 14:19)

Re: nepružná zrážka bowlingovej gule so stolom

#3 11. 11. 2017 15:26

Re: nepružná zrážka bowlingovej gule so stolom

#4 11. 11. 2017 15:31

Re: nepružná zrážka bowlingovej gule so stolom

#5 11. 11. 2017 16:00

Re: nepružná zrážka bowlingovej gule so stolom

#6 11. 11. 2017 16:14

Re: nepružná zrážka bowlingovej gule so stolom

#7 11. 11. 2017 16:46

Re: nepružná zrážka bowlingovej gule so stolom

#8 11. 11. 2017 17:34

Re: nepružná zrážka bowlingovej gule so stolom

#9 11. 11. 2017 17:40

Re: nepružná zrážka bowlingovej gule so stolom

#10 11. 11. 2017 20:31

Re: nepružná zrážka bowlingovej gule so stolom

#11 11. 11. 2017 20:32

Re: nepružná zrážka bowlingovej gule so stolom

Zápatí